2018版高中数学苏教版选修2-1学案:第三章+空间向量与立体几何311+空间向量及其线性运

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1、•••-第3匣空间时就与立体儿何空间向量及其运算空间向量及其线性运算[学习目标]1.了解空间向量的概念,常握空间向暈的儿何表示和字母表示2学握空间向量的线性运算及运算律,理解空间向量线性运算及其运算律的几何意义.=知识梳理自主学习知识点一空间向量的概念在空间中,我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量,向量的大小叫向量的长度或模.知识点二空间向量的加减法(1)加减法定义空间屮任意两个向量都是共面的,它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法.(如图)0B=O4+AB=a+b;(2)运算律交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c).知识点

2、三空间向量的数乘运算⑴定义实数久与空间向量a的乘积加仍是一个向量,称为向量的数乘运算.当久>0时,加与a方向相同;当久v0时,屁t与a方向相反;当久=0时,加=0.2a的长度是a的长度的

3、刀倍.如图所示.(2)运算律分配律:&(a+〃)=2a+肪;结合律:z(//a)=(z//)a.知识点四共线向量定理(1)共线向量的定义与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相半行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,记作a〃b.(2)充要条件对空间任意两个向量a,方@工0),〃与a共线的充要条件是存在实数久,使b=Xa.思考(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同,

4、则终点也相同.对吗?(2)零向量没有方向.对吗?(3)空I'可两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致.対吗?答案(1)正确.起点相同,终点也相同的两个向量相等.(1)错误.不是没有方向,而是方向任意.(2)正确.题型探究重点突破题型一空间向量的概念例1判断下列命题的真假.⑴空间中任意两个单位向量必相等;(2)方向相反的两个向量是相反向量;(3)若a=bf则a=b或a=_b;⑷向量乔与菇的长度相等.解(1)假命题.因为两个单位向量,只有模相等,但方向不一定相同.(2)假命题.因为方向相反的两个向量模不一定相等.(3)假命题.因为两个向量模相等时,方向不一定相同或相反

5、,也可以是任意的.(4)真命题.因为菇与乔仅是方向相反,但长度是相等的.反思与感悟空间向量的概念与平面向量的概念相类似,平面向量的其他相关概念,如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.DiC,AB跟踪训练1如图所示,以长方体ABCD-ABCDX的八个顶点的两点为始点和终点的向量中,(1)试写出与乔相等的所有向量;⑵试写出石I的相反向量;(3)若力3=/£>=2,44]=1,求向地花

6、的模.解(1)与向量越相等的所有向量(除它自身之外)有力^i,氐及历乙共3个.(2)向量石

7、的相反向量为齐,百b,qcNd.(3)gC】

8、=3.题型

9、二空间向量的线性运算例2如图,在长方体4BCD—久BCQ中,下列各式运算结杲为纭]的是.(填序号)®AD—AA~ABx②氏+莎一朮1;©AD-AB-DD^④B^D{-A^A+Dbx.答案①②解析{)AD—AA—AB=AD—AB=BD;(2)荒+函一朮[=苑+矗=0;⑶忌一屁一5b、=阮一5b=希一眼=卓工祇;(4)B[D]—AA+DD=BZ)+AA】+DD、=BD+AAiHBD、・反思与感悟运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素:(1)向量加法的三角形法则:“首尾相接,指向终点”;(2)向量减法的三角形法则:“起点重合,指向被减向量”;(3)平

10、行四边形法则:“起点重合”;(4)多边形法则:“首尾相接,指向终点”.跟踪训练2如图,在正方体ABCD—ABCD中,下列各式中运算结果为向量力乙的是.(填序号)®(AB+BC)+CC^②(石]+力0])+必

11、;③(乔+屈])+威

12、;④(石

13、+答案①②③④解析①(乔+葩+荒1=花+农1=处1;②(石i+Zb])+必1=历1+必i=衣];③(乔+厉1)+靳乙=力§]+必]=尼

14、;④(加i+兀^])+处]=侖1+处1=处1.所以所给四个式子的运算结果都是处卜题型三空间向量的共线问题例3设勺、是平面上不共线的向量,已知AB=flek^2fCB=e3^2»CD=2e、—弧,若/

15、、B、D三点共线,求£的值.解1—4又/、B、Q三点共线,白共线向量定理得㊁=〒,:.k=一&反思与感悟灵活应用共线向量定理,正确列出比例式.跟踪训练3设两非零向量勺、血不共线,AB=ex+e2,BC=2e1+8e2,cb=3(el~e2).试问:A.B、D是否共线,请说明理由.解*:Bb=BC+cb=(2e+8^2)+3(ei—ei)=5(ej+ei),:.BD=5AB9又・・・3为两向量的公共点,・・・/、B、D三点共线.自查自纠戸当堂检测1.两个非零向量的模相等是两个向量

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