2018版高中数学苏教版选修2-1学案：311+空间向量及其线性运算

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1、空间向址与立体儿何空间向量及其运算3・1・1空间向量及其线性运算［学习目标］1.了解空间向量的概念，学握空间向量的儿何表示和字母表示2掌握空间向暈的线性运算及运算律，理解空间向量线性运算及其运算律的几何意义.戸知识梳理自主学习知识点一空间向量的概念在空间屮，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量,向量的大小叫向量的长度或模.知识点二空间向量的加减法(1)加减法定义空间屮任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法.(如图)OB=OA+AB=a+b；(2)运算律交换律：a+b=b+a；结合

2、律：(a+b)+c=a+(b+c).知识点三空间向量的数乘运算⑴定义实数2与空间向量a的乘积肋仍是一个向量，称为向量的数乘运算.当/>0时，加与a方向相同;当久v0时,加与a方向相反;当2=0时,加=0.加的长度是a的长度的

3、2

4、倍.如图所示.(2)运算律分配律：z(a+b)=/

5、要条件是存在实数2,使b=Xa.思考(1)若表示两个相等空问向量的有向线段的起点相同，则终点也相同.对吗？(2)零向量没有方向.刈吗？(3)空间两个向量的加减法与平而内两向量的加减法完全一致.对吗？答案(1)正确.起点相同，终点也相同的两个向量相等.(1)错误.不是没有方向，而是方向任意.⑶正确.重点突破题型一空间向量的概念例1判断下列命题的真假.(1)空间小任意两个单位向量必相等；⑵方向相反的两个向量是相反向量；(3)若a=by则a=b或a=—&；⑷向量乔与菇的长度相等.解(1)假命题.因为两个单位向量，只有模相等，但方向不

6、一定相同.(2)假命题.因为方向相反的两个向量模不一定相等.(3)假命题.因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的.(4)真命题.因为石与乔仅是方向相反，但长度是相等的.反思与感悟空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.跟踪训练1如图所示，以长方体4BCD—AB、C、D的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，⑴试写出与乔相等的所有向量；⑵试写出石I的相反向量;(2)若力3=如9=2,44】=1,求向址花

7、的模.

8、解⑴与向量乔相等的所有向量(除它自身之外)有力^],庞及万乙共3个.(3)WGI=3.题型二空间向量的线性运算例2如图，在长方体ABCD~AlBlC,Dl中，下列各式运算结果为丽]的是.(填序号)®AD—AA—AB；②BC+BBi-l^C^®AD-AB-DD^④B^by-A^A+DD{.答案①②解析(l)A^bi-A^A-AB=ADl-A^=BDi；(2咸+屈1-D^Cr=BC{+QZ))=BD}；⑶巫一屁一5b=丽一5b=希一眼=卓工甌;(1)3]£)]—AA~~DD=BD~~AA-VDD=BD~VAA^B

9、D.反思与感悟运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素：(1)向量加法的三角形法则："首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法则：“首尾相接,指向终点”.跟踪训练2如图，在正方体4BCD—儿BCD中，下列各式中运算结果为向量力乙的是.(填序号)®(AB+BC)+CCi；②(Z5

10、+^7b

11、)+ACi；③(蔚+亦

12、)+威1；④(加]+掃

13、)+必.答案①②③④解析①(乔+BC)+CC!=AC+CCi=ACi；②(Z5]+力0[)+D^Ct=

14、ADX+LCy=ACX；③(乔+爲J+馮乙=AB+B^C=ACX；④(石i+石方J+怎乙=ABx+岳乙=处1.所以所给四个式子的运算结果都是尼I.题型三空间向量的共线问题例3设£八02是平面上彳、共线的向量，已知AB=2e+k€2‘CB=€

15、+3e2”CD=2.e—血，若/、B、D三点共线，求£的值.解'：BD=cb-CB=ei-4e29AB=2e{+ke29又/、B、D三点共线，由共线向量定理得*=于，・•・£=_&反思与感悟灵活应用共线向量定理，正确列出比例式.跟踪训练3设两非零向量勺、血不共线，AB=ex+e2.BC=

16、2el+Se2,cb=3（el-e2）.问：A.B、D是否共线，请说明理由.解・；BD=BC+CD=（2©+牝2）+3（引一02）=5（切+©），:.BD=5AB,又•・•〃为两向量的公共点，・・・/、B、D三点共线.戸