2018版高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其线性运算学案 苏教版选修2-1

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1、3．1.1　空间向量及其线性运算[学习目标]　1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的线性运算及运算律，理解空间向量线性运算及其运算律的几何意义．知识点一　空间向量的概念在空间中，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模．知识点二　空间向量的加减法(1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．(如图)＝＋＝a＋b；＝－＝a－b.(2)运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．知识点三　空间向量的数乘运算(1)定义实数λ与空间向量a的乘

2、积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.λa的长度是a的长度的

3、λ

4、倍．如图所示．(2)运算律分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；结合律：λ(μa)＝(λμ)a.知识点四　共线向量定理(1)共线向量的定义与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b.(2)充要条件对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.思考　(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．对吗？(2)零向量没有方向．对吗？

5、(3)空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致．对吗？答案　(1)正确．起点相同，终点也相同的两个向量相等．(2)错误．不是没有方向，而是方向任意．(3)正确．题型一　空间向量的概念例1　判断下列命题的真假．(1)空间中任意两个单位向量必相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若

6、a

7、＝

8、b

9、，则a＝b或a＝－b；(4)向量与的长度相等．解　(1)假命题．因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同．(2)假命题．因为方向相反的两个向量模不一定相等．(3)假命题．因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的．(4)真命题．因为与仅是方向相反，但长度是相等的．

10、反思与感悟　空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．跟踪训练1　如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)试写出与相等的所有向量；(2)试写出的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．解　(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个．(2)向量的相反向量为，，，.(3)

11、

12、＝3.题型二　空间向量的线性运算例2　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是________．(填序号)①－－；②＋

13、－；③－－；④－＋.答案　①②解析　(1)－－＝－＝；(2)＋－＝＋＝；(3)－－＝－＝－＝≠；(4)－＋＝＋＋＝＋≠.反思与感悟　运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素：(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”．跟踪训练2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是________．(填序号)①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.答案　①②③④解析　①(＋)＋＝＋＝；②(＋)＋＝＋＝；③(＋)＋＝＋＝；

14、④(＋)＋＝＋＝.所以所给四个式子的运算结果都是.题型三　空间向量的共线问题例3　设e1、e2是平面上不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，求k的值．解　∵＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，又A、B、D三点共线，由共线向量定理得＝，∴k＝－8.反思与感悟　灵活应用共线向量定理，正确列出比例式．跟踪训练3　设两非零向量e1、e2不共线，＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)．试问：A、B、D是否共线，请说明理由．解　∵＝＋＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)，∴＝5，又∵B为两向量的公共点，∴A、B、D三点

15、共线．1．两个非零向量的模相等是两个向量相等的________条件．答案　必要不充分解析　a＝b⇒

16、a

17、＝

18、b

19、；

20、a

21、＝

22、b

23、a＝b.2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′的各条棱所在的向量中，模与向量的模相等的向量有________个．答案　7解析　

24、

25、＝

26、

27、＝

28、

29、＝

30、

31、＝

32、

33、＝

34、

35、＝

36、

37、＝

38、

39、.3．下列说法中正确的是________．(填序号)①若

40、a

41、＝

42、b

43、，则a，b的长度相等，方向相同或相反；