高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.6 空间向量及其运算习题课学案苏教版选修2-1

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1、空间向量及其运算【知识要点扫描】1．有关概念向量具有大小和方向的量（如平移）向量的表示有向线段向量的模表示向量的有向线段的长（向量的起点和终点间的距离）向量的夹角有公共起点的表示两向量的有向线段组成的在中的角特殊向量零向量，单位向量相等向量同向且等长的向量共线向量所在直线是同一直线或平行直线的向量共面向量在同一平面内或与同一平面平行的向量2．共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理共线向量定理：。共面向量定理：。空间向量基本定理：，其中称为基底，称为基向量。3．两个向量的数量积（1）定义：；（2）在方

2、向上的射影的数量积=；（3）模长公式：；（4）夹角公式：；（5）垂直的充要条件：；（6）数量积模的不等式：（时，左边取等号；∥时，即时，右边取等号；时，即与同向时，同取两个等号）（7）运算定律：（向量数量积一般不满足结合律）4．空间几何关系和向量的转化选取三个不共面的向量为基向量，常选3个共起点而不共面的向量或3个顺序相接的向量为基向量。常用关系有：（1）三点共线Û∥Û存在实数，使Û存在实数，使。（2）∥Û共线且不共线Û存在实数，使，且不共线。（3）共面Û与共面Û存在实数对，使Û存在实数，使；（4）∥Û，

3、存在，使，且∥Û，且存在实数，使Û，且存在实数，使；（5）；5．空间几何关系与向量坐标关系的转化记①∥存在实数，使②6．空间直角坐标系中的公式（1）距离公式：（2）夹角公式：记，则1、已知平行六面体化简下列表达式（1）（2）2、已知点在平面内，并且对空间任一点则3、已知是不共面的三个向量，则下列能构成空间一个基底的一组向量是__________.①②③④4、已知点的竖坐标为0，则动点的轨迹是_______________.5、若空间三点共线，则6、已知三点的坐标分别为若则点坐标为_______,若则点坐标

4、为_______.7、已知向量则8、已知向量且垂直，则的值是__________.9、已知点则的形状是___________.10、若向量满足的夹角为则11、若，则12、在四面体中，各棱长均为分别是的中点，则异面直线所成的角为__________.13、已知则14、在空间四边形中，连结的重心为化简15、已知三个非零向量且不全为零，求证：共面.16、已知求满足条件：的点的坐标。17、四棱锥的底面为一矩形，设分别是的中点，用表示18、在棱长为1的正方体中，是的中点。（1）求证：（2）求所成角的余弦值；（3）求

5、的长。