2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示学案 新人教a版选修2-1

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1、3.1.5　空间向量运算的坐标表示学习目标　1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.知识点一　空间向量的坐标运算思考　设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？答案　m＋n＝(x1＋x2，y1＋y2)，m－n＝(x1－x2，y1－y2)，λm＝(λx1，λy1)，m·n＝x1x2＋y1y2.梳理　空间向量

2、a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量运算向量表示坐标表示加法a＋b(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa(λa1，λa2，λa3)数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则名称满足条件向量表示形式坐标表示形式a∥ba＝λb(λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b

3、3＝0模

4、a

5、＝

6、a

7、＝夹角cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝类型一　空间向量的坐标运算例1　已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b等于(　　)A.(2，－4，2)B.(－2，4，－2)C.(－2，0，－2)D.(2，1，－3)答案　A解析　依题意，得b＝a－(－1，2，－1)＝a＋(1，－2，1)＝2(1，－2，1)＝(2，－4，2).反思与感悟　关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.(2)由条件求向量或点的

8、坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标.跟踪训练1　若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.答案　2解析　据题意，有c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，故(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.类型二　空间向量平行、垂直的坐标表示例2　已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.(1)若

9、c

10、＝3，c∥.求c；(2)若ka＋b与k

11、a－2b互相垂直，求k.解　(1)因为＝(－2，－1，2)，且c∥，所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)，得

12、c

13、＝＝3

14、λ

15、＝3，解得λ＝±1.即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2).(2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解得k＝2或k＝－.引申探究若将本例(2)中改为“若ka

16、－b与ka＋2b互相垂直”，求k的值.解　由题意知ka－b＝(k＋1，k，－2)，ka＋2b＝(k－2，k，4)，∵(ka－b)⊥(ka＋2b)，∴(ka－b)·(ka＋2b)＝0，即(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝，故所求k的值为－2或.反思与感悟　(1)平行与垂直的判断①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线.②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.(2)平行与垂直的应用①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a

17、＝λb)，建立关于参数的方程.②选择坐标形式，以达到简化运算的目的.跟踪训练2　在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点.证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；(2)A1G⊥平面EFD.证明　如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，由中点性质得E，F，G，H.(1)＝(1，0，1)，＝，＝，∵＝2，·＝1×

18、＋0＋1×＝0，∴∥，⊥.即AB1∥GE，AB1⊥EH.(2)∵＝，＝，＝，∴·＝－＋0＝0，·＝＋0－＝0，∴A1G⊥DF，A1G⊥DE.又DF∩DE＝D，∴A1G⊥平面EFD.类型三　空间向量的夹角与长度的计算例3　棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.(1)求证：EF⊥CF；(2)求与所成角的余弦值；(3)求CE的长.(1)证明　建立如图所示