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《高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.5空间向量运算的坐标表示讲义新人教A版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3．1.5 空间向量运算的坐标表示1．空间向量运算的坐标表示运算坐标表示a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b32．空间向量的平行与垂直的坐标表示平行或垂直平行或垂直条件的坐标表示a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)平行(a∥b)a∥b⇔a＝λb⇔(λ∈R且b≠0)垂直(a⊥b)a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b
2、1＋a2b2＋a3b3＝03．空间向量的长度公式及夹角的坐标表示(1)空间向量长度公式的坐标表示①若a＝(a1，a2，a3)，则
3、a
4、＝＝＝，即
5、a
6、＝.②空间两点间的距离公式已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，a.＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．b．dAB＝
7、
8、＝.(2)向量的夹角坐标公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝＝.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于空间任意两个向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
9、，若a与b共线，则＝＝.( )(2)空间向量a＝(1,1,1)为单位向量．( )(3)若向量＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1)．( )答案 (1)× (2)× (3)×2．做一做(1)(教材改编P97T1)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是( )A．a＋b＝(10，－5，－6)B．a－b＝(2，－1，－6)C．a·b＝10D．
10、a
11、＝6(2)在空间直角坐标系中，已知点A的坐标为(1,2,3)，点B的坐标为(4,5,6)，则＝________.
12、(3)若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果a与b为共线向量，则x＝________，y＝________.(4)已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉＝________.答案 (1)D (2)(3,3,3) (3) － (4)探究1 空间向量的坐标运算例1 已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)．[解] a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，
13、－2,2)；a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)；a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.拓展提升空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法1．根据已知向量的坐标，代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算．2．熟练应用有关的公式
14、：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.3．空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似，可类比记忆．计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可先求出2a，－b后，再求数量积．【跟踪训练1】 已知a＝(2，－1,3)，b＝(0，－1,2)，求：(1)a＋b；(2)2a－3b；(3)a·b；(4)(a＋b)·(a－b)．解 (1)a＋b＝(2，－1,3)＋(0，－1,2)＝(2＋0，－1－1，3
15、＋2)＝(2，－2,5)．(2)2a－3b＝(4，－2,6)－(0，－3,6)＝(4,1,0)．(3)a·b＝(2，－1,3)·(0，－1,2)＝2×0＋(－1)×(－1)＋3×2＝7.(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋9－(0＋1＋4)＝9.探究2 利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题例2 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，过点B作BM⊥AC1于点M，求点M的坐标．[解] 由题意，知
16、A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，设M(x，y，z)，则＝(－a，a，a)，＝(x－a，y，z)，＝(x－a，y－a，z)．因为⊥，所以·＝0.所以－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，即x－y－z＝0.①因为∥，所以x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa(λ∈R)，即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②.由①②，得x＝，y＝，z＝.所以点M的坐标为.拓展提升(1)
