高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算学案新人教a版选修2-1

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1、3．1空间向量及其运算（向量的加法、减法、数乘运算）【学习目标】了解空间向量的概念；掌握空间向量的加、减运算及数乘运算法则，能够正确应用空间向量的加法交换律、加法结合律及数乘的分配律进行运算。【本课重点】空间向量的概念及加法、减法、数乘运算【本课难点】空间向量的理解和运算【教学过程】一、知识要点：1．空间向量的概念在空间，具有大小和方向的量叫；向量的大小叫做向量的或，记为；长度为零的向量叫做，记为；模为1的向量称为；方向相且模相等的向量称为相等向量；方向相且模相等的向量称为相反向量；2．空间向量与平面向量空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量。空

2、间任意三个向量呢？3．向量的加、减运算法则及数乘运算法则4．向量的加法及数乘运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律：数乘结合律：二、应用举例：例1．化简下列各式：（1）+；（2）++；（3）++++归纳结论：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：例2．已知平行六面体-,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：（1）+；（2）++；（3）++；（4）()例3．已知正方体-，点E是上底面的中心，求下列各式中x,y,z的值。（1）=x+y+z；（2）=x+y+z.【

3、课堂练习】1．已知空间四边ABCD,连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各式，并标出化简结果的向量。（1）++；（2）+(+)；（3）--(+)2．已知正方体-，点E，F分别是上底面和侧面的中心，求下列各题中x,y的值。（1）=x(+)+y；（2）=+x+y；（3）=+x+y【课堂小结】向量的加法可以用平行四边法则也可以用三角形法则，空间向量的加法与数乘向量的运算满足的运算律是：加法交换律，加法结合律，数乘分配律。3．1空间向量及其运算（第2课时）（共线向量与共面向量）【学习目标】了解共线与共面向量的概念，掌握其表示方法；理解共线（共面）向量定理及其推

4、论；掌握空间直线的向量参数方程；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关问题．【本课重点】空间直线向量参数方程，点在已知平面内的充要条件。教学过程：一、问题探究：问题1：回顾平面向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量与非零向量是否共线？对照教材思考，在空间，什么叫平行向量或共线向量？向量与非零向量共线的充要条件是什么？问题2：什么叫向量与平面平行，向量与平面平行与直线与平面平行有何区别与联系？问题3：什么叫共面向量？空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？如何运用向量的方法证明四点共面？二、要点归纳：将对以上问题的思考填入下表：共线向量共面向量定义

5、定理推论运用OABCD三、应用举例：例1．如图O是空间任意一点，C、D是线段AB的三等分点，分别用、表示、.例2．已知四边行ABCD是空间四边形，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且=；=，求证：四边形EFGH是梯形。例3．如图，已知平行四边形，从平面AC外一点O引向量=k；=k，=k，=k,求证：四点，，，共面。【课堂练习】已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，确定在下列条件下，点M是否与A，B，C一定共面：（1）=++；（2）=2--3．1空间向量及其运算（第3课时）（空间向量的数量积运算）【学习目标】掌握空间向量夹角和模的概

6、念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题，如垂直问题、长度问题及夹角问题。【本课重点】两个向量的数量积的计算方法及其应用。【本课难点】向量运算在几何证明与计算中的应用．【教学过程】一、知识要点：1．两个向量夹角的范围是；2．两个向量数量积的定义：；3．空间向量数量积满足的运算律：；4．两个向量垂直的充要件是；5．向量的模的计算方法是；6．两个向量的夹角公式是；OABC二、应用举例：例1．已知在空间四边形OABC中，（如图）OABC，OBAC，求证：OCABDABC例2．已知在平行六面体

7、中，AB=4，AD=3，，，，求的长。【课堂练习】1．已知向量a，b满足

8、a

9、=1，

10、b

11、=2，

12、a-b

13、=3，则

14、a+b

15、=_________2．已知线段AB，BD在平面内，BDAB，线段AC，如果AB=a,BD=b,AC=c,求C，D间的距离。3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M，N分别是边AB，CD的中点，求证：MNAB，MNCD。【课堂小结】求向量的数量积一般是先把向量用基底来表示，然后再用数量积公式计算其数量积。3．1空间向量及其运算（第4课时）（空间向量的坐标表示）【学习目标】掌握空间向量的