正方形中的几何变换

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1、正方形中的几何变换解决正方形的问题，常常需要添加辅助线，由于正方形具有许多特殊性质，所以这些辅助线往往是与几何变换（指平移、旋转、对称三种全等变换）联系在一起的，变换后一般都构成全等三角形，使问题易于解决。例1.如图所示，在正方形ABCD中E、H、F、G是顺次四边上的点，且。求证：EF=GH。分析：为证EF=GH，我们可利用正方形四边相等和四个角是直角的性质，把AB和BC分别平移到GI和EK的位置（如图1所示），易知，于是可得，从而可得。故可得结论。图1当然本题也可把GH、EF分别平移到AM和BN的位置（如图2所示），得到，同样可证得结论。图2例2.如图3所示，在正方形

2、ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且。求证：。图3分析：DF与BE位置分散，若把△DAF绕点A按顺时针方向旋转90°到△BAG的位置。由正方形边、角的特殊性质可知E、B、G恰好共线，且当然本题也可把△BAE绕点A按逆时针方向旋转90°，把BE“接”到FD延长线上，同学们不妨一试。例3.如图4所示，在正方形ABCD中，E是CD的中点，F是CE的中点，连结AE、AF。求证：图4分析：如果作出的平分线，把它分成两个相等的角，那么很难证其中一个角等于。若取BC的中点G，连结AG，则易知，剩下的问题就是证AG是的平分线。此时可利用正方形边、角的特殊性质把△BGA绕点G旋转

3、180°，到△CGH的位置，则易知F、C、H三点和A、G、H三点均共线。设正方形的边长为4a，则由勾股定理可得AF=5a，而FH=5a，于是可得故本题得证。例4.如图5所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且，求证：。图5分析：由于EA是的平分线，因而可利用其对称性把△AEB沿AE翻折到△AEG的位置，则点G必在EF上，且。于是可得这种对称变换虽不是利用正方形本身的对称性作的，却是利用正方形边、角的特殊性质实现的。例5.如图6所示，在正方形ABCD中，M是形内一点，且，求证：是等边三角形。图6分析：解决本题的关键在于证得MB或MC等于正方形的一条边长，

4、我们可利用正方形的对称性，先连结BD，再把△AMD沿BD翻折到△CND的位置，连接MN，则，于是△MDN为等边三角形从而