(文章)走进圆中几何变换

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1、http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！走进圆中的几何变换（例1图1）在近几年的各地中考中，几何变换作为一种数学思想与方法，不断地被命题者青睐与关注，在现行的初中数学课本中，主要存在平移、旋转和轴对称(即翻折)三种几何变换.它们最大的特征都是不改变图形的形状和大小，只改变图形位置的变换。而圆作为初中阶段最核心最重要的内容，越来越被作为呈现知识和能力的载体。为此，让我们结合各地中考试题，一同走进圆中的变换世界，感受它的魅力与亮点。一、利用平移构造例1：如图，⊙P内含于⊙，⊙的弦切⊙P于点，且．若阴影部分的面积为，则弦的长为（　　）A．3B

2、．4C．6D．9（例1图2）思路点拨：两圆内含，阴影部分的面积为，如果将⊙P向左平移，与⊙O构造同心圆，此时阴影部分的图形为环形（如图2），则此时⊿COB已构造成直角三角形。解析：环形的面积为；则弦AB=2BC==6；故此题选C。点评：通过对小圆的左移，构造出两圆为同心圆的特殊位置，并进而形成了一个圆环的阴影部分，由切线的性质并进而构造出圆的垂径定理、勾股定理等需要知识。二、利用翻折构造例2：如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面积是.思路点拨：图中阴影部分是由三种不规则的图形的构成，通过观察发现，如果借助翻折变换的数学

3、思想方法，便可将X轴下方的阴影部分翻折上去，与另两部分阴影刚好构造成半圆形，此时的阴影部分面积刚好半圆形的面积，此题便可快速解决。解析：阴影部分的面积为半圆形的面积=。点评：翻折问题的实质是轴对称变换，把握翻折的两部分是全等图形、重合图形，通过翻折，将非特殊图形转化为特殊图形（半圆形），解题的关键是面积的割补及转化的数学思想方法。三、利用旋转构造例3：（1）如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G.求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的.（2）如图2，若∠DOE保持120º角度不变.求证：当∠DOE绕

4、着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC学数学用数学专页报第4页共4页版权所有@少智报·数学专页http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！面积的.思路点拨：如图，连OA，OC，则由于∠DOE=∠AOC=120º，也就是⊿FOC绕O点逆时针旋转120º得到⊿EOA，此时阴影部分的面积为⊿AOC的面积，而⊿AOC的面积是整个三角形⊿ABC的面积的三分之一。解析：（１）证明：过点O作OH⊥AB于点H.∵等边△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC，OH⊥AB，OE⊥AC∴∠B=∠C=60°，∠BHO=

5、∠BFO=∠CFO=∠CGO=90°，BH=BF=CF=CG，OH=OF=OG∴∠FOH=∠FOG=180°-60°=120°，∴四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＣＦＯＧ　　　　同理：四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＡＨＯＧ∴四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＣＦＯＧ≌四边形ＡＨＯＧ∴，又∵∴．（２）证明：过圆心Ｏ分别作ＯＭ⊥ＢＣ，ＯＮ⊥ＡＣ，垂足为Ｍ、Ｎ.则有∠OMF=∠ONG=90°，OM=ON，∠MON=∠FOG=120°∴∠MON-∠FON=∠FOG-∠FON，即∠MOF=∠NOG∴△MOF≌△NOG，∴∴若∠DOE保持120°角度不变，当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的

6、图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的.点评：旋转变换是将已知图形（或其中一部分）绕一点进行旋转，构造出新的图形，进而揭示条件和结论之间的内在联系，找到解题的途径。由特殊到一般是我们常用的一种数学思考方法，本题的关键在于充分利用旋转变换和面积的割补法来完成。实战演练（请编辑根据需要选用）第1题1、如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA’恰好与⊙0相切于点A’(△EFA′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是。2、如图，⊙A、⊙B的圆心A、B在直线l上，两圆半径都为1cm

7、，开始时圆心距学数学用数学专页报第4页共4页版权所有@少智报·数学专页http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！AB=4cm，现⊙A、⊙B同时沿直线l以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A运动的时间为秒第2题3、如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于.第3题4、如图，圆心角都是90º的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD．（1）求证：AC=BD；（2）若图中阴影部分的面积是，OA=2cm，求OC的长