几何学中的小明珠

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1、几何学中的小明珠——九点圆三角形是最简单的几何图形，也是我们最熟悉的几何图形。我们知道三角形有三条边、三个内角、三个顶点、三条中线、三条内角平分线、三条高线。我们还发现或证明过，三角形的三条中线交于三角形内的一点，这一点叫做三角形的重心；三角形的三条内角平分线交于三角形内的一点，这一点叫做三角形的内心；三角形的三条高线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。此外，三角形三边的垂直平分线也交于一点，这个点叫做三角形的外心。在任何一个三角形中都有9个很特别、很有趣的点，那就是三角形各边的中点、三条高的垂足、各顶点与垂心

2、所连线段的中点。这九个点的特别是容易理解的，为什么说它们有趣呢？圆是最优美的图形。不在同一直线上的三个点确定一个圆，即过不在同一直线上的三点有并且只有一个圆。而四点共圆是有条件的，条件是以这四点为顶点的四边形对角互补。由三点共圆和四点共圆，可以得到一个与以上九点有关的重要的、有趣的圆，叫做九点圆：三角形三边的中点、三条高的垂足、垂心与各顶点所连线段的中点，这九点所在的圆。也就是说，这九点在同一个圆上。亲爱的读者，你有没有兴趣证明这九点在同一个圆上？如果有兴趣，不妨试一试！大数学家欧拉在1765年就发现了九点圆

3、，因此人们称之为“欧拉圆”。这是几何学中很著名的问题，在十八世纪与十九世纪之交已广为流传。1804年英国的培亚敏俾凡在雷榜《算理之库》卷一第十八章中，正式提出“九点”问题，布德卫斯与韦唐给出了证明。1821年格盖尼和1822年彭色列先后正式发表这一问题。1822年德国人费尔巴哈在《直角三角形的一些特殊点的性质》里，发表了自己的证法，并且说九点圆与内切圆及三个旁切圆相切。这就是人们通常所称的“费尔巴哈定理”。1827年维兹在《哲学杂志》发表一篇论文，对九点圆进行了比较详细的论述。讨论九点圆，不仅在于它本身的价值

4、，而且通过它可以寻求三角形内心、外心、垂心相对位置，以便深刻地认识几何学中最基本的角色——三角形。九点圆的证法很多，但证法比较繁琐。下面介绍两种比较简明的证法。证法一设△ABC各边的中点分别为M、N、K，各条高的垂足分别是D、E、F，垂心为H，AH、BH、CH的中点分别是L、P、Q。我们证明M、N、K、D、E、F、L、P、Q这9个点在同一个圆周上。如图1，△LDM、△PEN、△QFK都是直角三角形。图1过直角三角形三顶点可作一圆，这圆是以斜边中点为圆心，斜边的一半为半径的圆。因此，要证明九点圆，只要证明这三个

5、直角三角形的外接圆重合即可，也就是证明：LM=PN=QK，且互相平分。如图2，连MN、NL、LP、PM。∵L、N分别是AH、AC的中点，∴NL∥CH，且NL=CH。同理，PM∥CH，PM=CH。∴NL∥PM，NL=PM。∴MNLP是平行四边形。又∵NL∥CF，LP∥AB，而CF⊥AB，∴平行四边形MNLP是矩形。图2∴四边形MNLP的对角线ML、PN相等且互相平分。同理可证另一矩形PQNK的对角线PN、QK也相等且互相平分，因此九点共圆。证法二设△ABC三条高线的垂足为D、E、F，垂心为O。过D、E、F画圆交

6、三条高于M、N、L。先证M为BO的中点。B、D、O、F四点共圆。BO是该圆的直径。在过D、M、F、L、E、N的圆中，∠FMO=∠FDE，∠ABE=∠ACF。在过B、D、O、F的圆中，∠ABE=∠FDO。在过C、D、O、E的圆中，∠ACF=∠EDO。于是∠FDO=∠EDO=∠FDE=∠FMO。BO为过B、D、O、F圆的直径，∠FDO是圆周角，且为∠FMO之半，故∠FMO是圆心角。因此，M是BO的中点。同理，N、L是CO、AO的中点。又设过D、E、F的圆交三边于G、H、K，我们先证G是BC的中点。∵M、D、G、E

7、共圆，∴∠MGB=∠MED，∵O、D、C、E共圆，∴∠MED=∠OCB。于是∠MGB=∠OCB。由此，MG∥OC。由于M是BO的中点，G当然是BC的中点。同理，H、K分别是CA、AB的中点。这就证明了九点共圆。【附录】一、【欧拉简介】欧拉（1707年～1783年）瑞士数学家。1707年4月15日，数学史上杰出的数学家欧拉诞生在瑞士第二名城巴塞尔的一个殷实的家庭。父亲保罗·欧拉是个基督教加尔文派的教长，喜爱数学，是欧拉启蒙的数学老师。欧拉幼年早慧，在家庭的教养下，聪颖过人。父亲希望儿子学习神学，将来继承父业。1

8、720年秋，把欧拉送进瑞士最古老的大学巴塞尔大学，学习神医学、东方语言。欧拉的聪慧和勤勉赢得了该校数学教授约翰·伯努利的赏识，并亲自单独面授数学。欧拉十六岁从巴塞尔大学毕业，获得硕士学位。在伯努利的影响下，欧拉决心以数学为业。十八岁开始发表论文，十九岁发表了论船桅的论文，荣获巴黎科学院奖金。此后，他几乎连年获奖，奖金成为他的固定收入。在尼古拉·伯努利和丹尼尔·伯努利的推荐下，欧拉1727年应沙皇女王