解析几何学习中的关键问题

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1、解析几何学习中的关键问题♦张海江河北省石家庄市第一中学050011高中解析几何问题是学牛学习中的难点问题，我们就高中解析几何教学策略这一主题进行研究，旨在教学中，关注知识内容的衔接，把有关内容放在平面解析几何内容的通盘中整体考虑，研究解析几何的通性、通法在高中各学段的不同体现。解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，是高中数学的经典内容。其实质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想。高中解析几何的学习大致分成三个阶段：学生在高一阶段的必修2中学习“平面解析几何初步”，进入高二年级，在选修

2、或2・1中学习“圆锥曲线与方程”。理科还要学习选修4-4“坐标系与参数方程”，高三阶段，我们还对这些构成解析几何的经典内容进行系统的梳理和复习。如何让学牛从接触解析几何的第一天起，就感受到其内容的核心与精华，了解这段内容的学习方法和硏究方法，我们就每个学段要达到的教学要求、不同学段的教学策略、各学段教学内容的衔接等几个方面进行了具体实践。我们重温了课标对解析几何的教学要求，在此基础上讨论了教材体系和教学内容与过去大纲版的变化。如教材的分层设计，这种处理方式体现了循序渐进的原则，关注学生初高中的衔接。我们认

3、真揣摩各学段的教学要求，在此基础上,以解析几何的思想方法为主线，以课例为载体，增加一线教师操作的可行性和实效性，对各学段解析几何的教学内容、要求、教法进行具体、深入的探索研究。把理性的思考和具体的课例结合起来，开展了此研究。研究一：直线与圆的位置关系“平面解析几何初步”的重点是帮助学生初步休会解析几何的思想历程：将几何问题代数化一一处理代数问题一一分析代数结果的几何含义一一解决几何题。在平面直角坐标系中，点、直线和圆都有了代数形式，我们就可以用代数的方法来研究几何问题了。这与初中阶段我们直接借助几何图形来

4、研究其形状、大小、位置关系不同。实际上我们是在用代数方法研究平面几何问题。另一方面,用代数方法研究问题也不是全新的、没见过的，初中已经将点和有序实数对建立了一一对应关系，只是没有系统地接触解析几何的思想方法罢了。在这里体现了初高中在知识上的衔接。在本章的前半部分，学生已经学习了直线与圆的方程，知道在直角坐标系中,直线和圆可以用方程表示，（从形到数）。通过方程，我们研究了直线间的位置关系，点到直线的距离等，（用数研究形）。这些处理问题的方法的共性是都需要把几何问题代数化，先用方程表示直线和圆，然后再通过代数

5、运算解决有关问题。结合对例题的讲解分析，我们突出用坐标方法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论，对解析几何的思想方法有了初步体验。这是我们继续研究直线与圆的位置关系的基础。研究二：直线与圆锥曲线的位置关系我们继续采用高一学段研究直线与圆所用的坐标法，通过方程组研究直线与圆锥曲线的位置关系。直线和圆的位置关系作为直线和圆锥曲线的位置关系中的一种，在

6、必修学段已经做了比较系统的研究，其研究方法、研究思路、研究内容等可以类比、借鉴，用来处理直线与其他圆锥曲线的位置关系。椭圆作为三种圆锥曲线的重要代表，直线与椭圆的位置关系更是解析几何的经典内容。由于它的几何性质比圆更复杂，所以直线与椭圆的位置关系比直线与圆的位置关系更难把握。鉴于高三阶段我们还要对这部分知识做系统的复习和提炼，所以这节课肩负着承上启下的任务。在学习了平面解析几何初步的基础上，学生已经掌握了直线和圆的几何要素和它们的代数表示。掌握了确定这些基本图形位置关系的几何要素，以及如何运用代数的方法讨

7、论这些图形之间的位置关系，学生积累了一定的用坐标法研究几何图形的经验。在本模块中，学生完成了椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、基本性质的学习，再次体验了几何要素代数化的过程。体会了几何直观带来的好处。课例3：直线与圆锥曲线复习高三的复习是在高一、高二学习基础上的再认识。本节课的教学设计应从整体、系统的高度把握知识，注重知识之间的联系，建构自己的认知结构。我们可以以专题研究的方式避免复习在低思维层次上重复：专题几何对象如何代数化，分析体验对几何特征的不同角度的挖掘，转化成的代数问题不同，解决问题的难易程度也不

8、同。2010年北京高考题就是很好的示范。专题2：化解代数运算的常见思路，思想方法的学习是一个“渐悟”的过程，经过前两个学段润物细无声的渗透，力求高三阶段有所“顿悟”。以专题的形式突破难点，彻底解决学生“听得懂、想不到”、见到解析几何题就联立方程组，算到最后无疾而终的问题。让学生在实践中体会解一道解析几何题，如何在前面的流程图的指引下，不仅知道该做什么，更知道怎样做，效果立竿见影。总之，我们可以以新课程实施过程中教师遇到的各种具