几何学中的海伦.doc

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1、几何学中的海伦摆线及其他何谓摆线在夜晚的路上，当一辆脚踏车从你面前疾驰而过时，如果车轮上挂着一个小灯泡，你可曾注意到小灯泡在前进过程中描绘出什么样的线条？脚踏车在路上前进，车轮像一个圆，前进的路在一直在线，所以，脚踏车的前进可看成是一个圆在一直在线作没有滑动的滚动。当一圆形在一曲线上作没有滑动的滚动时，圆形上的每一个点在滚动过程中，都会描绘出一条曲线，这种曲线称为「旋轮线」(roulette)。选择不同的圆形、不同的曲线与不同的点，可以得出许多不同的旋轮线，我们举出几个例子如下。图一当一个圆在一直在线作不滑的滚动时，圆周上的点所描绘的旋轮线称为「摆线」(cycl

2、oid)；圆内部的点所描绘的旋轮线称为短摆线(curtatecycloid)；圆外部的点所描绘的旋轮线称为长摆线(prolatecycloid)。短摆线与长摆线合称为次摆线(trochoid，见图一）在下文中，我们将圆称为滚动圆、直线称为底线。当一个小圆在一个大圆的内部沿着大圆作不滑的滚动时，小圆圆周上的点所描绘的旋轮线称为内摆线(hypocycloid)；小圆内部与外部的点所描绘的旋轮线称为内次摆线(hypotrochoid)。当一个小圆在一个大圆的外部沿着大圆作不滑的滚动时，小圆圆周上的点所描绘的旋轮线称为外摆线(epicycloid)；小圆内部与外部的点所

3、描绘的旋轮线称为外次摆线(epitrochoid)。本文的前半部分先讨论摆线。习题：当滚动圆在直线或圆上滚动时，滚动圆的圆心描绘出什么曲线？摆线的参数方程式在图二中，设A点是滚动圆上的定点在出发时的位置。我们选取一个坐标系，使得A点为原点而且滚动圆在x轴上向右滚动。假设动圆滚动到某位置时，圆心为O，O点至x轴的垂足为I，圆上的定点的位置为P(x,y)，以为始边，为终边的有向角为t弧度，P点至直线OI的垂足为M。又设滚动圆的半径为a。因为滚动圆上的定点已由A点移动到P点，而滚动圆与x轴的切点已由A点转移到I点，所以，滚动圆上的弧PI滚过线段，亦即：=弧PI的长=a

4、t。于是，可得上面的表示法就是摆线的参数方程式。请注意：当时，；当时，。不过，与两式却对所有t值都成立。我们甚至可让参数t代表任意实数，如此，摆线成为可向两边无限延伸的周期曲线。x坐标每经历一段长度为的区间，图形就恢复原状。摆线与底线相交的点都是尖点(cusp)。当参数t由0增至时，摆线就是图二中由A至C至B的部分，其中，这一部分图形称为摆线的一拱(arch)。同理，t由2π至4π、由4π至6π、……等所对应的图形也都是一拱。仿照前面的方法，我们也可求次摆线的参数方程式。假设一定点与滚动圆的圆心的距离为d，底线是x轴，出发时定点的坐标为(0,a-d)，其中d是滚

5、动圆的半径。当动圆滚到图二所示的位置时，定点的位置在上且与O点的距离为d。由此可知其参数方程式为习题：试根据上面参数方程式，说明长摆线(d>a)为什么会与本身相交而形成循环（见图一的下图）。摆线下的面积在图二中，当圆向前滚动时，P点描绘出摆线，那么P点在直线OI上的垂足M点会描绘出什么图形呢？1634年，GillesPersonedeRoberval（1602～1675年，法国人）考虑这条曲线，而利用它求出摆线的一拱与其底线间的面积。所以，后世将这条曲线称为Roberval曲线。图二中的虚线，就是Roberval曲线在摆线一拱内的部分，根据前一小节所讨论的结果，

6、不难发现Roberval曲线的方程式为。在图二中，的中点是，而当时，Roberval曲线上的点对的对称点是。因为此对称点也在Roberval曲线上，所以，Robertval曲线在A与C间的部分对于点成对称。（图二中的M与N就是一对对称点。）由此可知：在以与为邻边的矩形中，Roberval曲线将此矩形分成面积相等的两个区域。更进一步可得：Roberval曲线与AB所围区域的面积，等于以与为邻边的矩形面积的一半，此值等于。其次，我们讨论摆线与Roberval曲线间的区域面积。此区域在C点的左、右两侧的面积显然相等，所以，我们只须讨论此区域左侧部分的面积。图二中以为直

7、径的半圆，乃是滚动圆在出发时的左半部分，直线PM被此半圆截出一线段。因为两圆大小相等，而直线PM与两圆圆心等距离，所以，=。因为每一条水平直线在两区域上所截出的线段都等长，所以，依据BonaventuraCavalieri（1598～1647年，意大利人）在1629年所提出的Cavalieri原理，这两个区域的面积相等。因此，摆线与Roberbval曲线所围的区域（左、右两部分）与滚动圆面积相等，此值等于。综合前两段的结果，可知摆线的一拱与其底线间的面积，等于滚动圆面积的三倍，亦即：。图二附带一提：Cavalieri所提的原理，中国数学家祖冲之在公元五世纪就已用

8、来计算球体的体积。习题：