资源描述：
《第六章微积分的创立》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、6.3莱布尼茨的微积分莱布尼茨简介莱布尼茨是德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天才，和牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）同为微积分的创建人。在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉．莱布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz，1646—1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，早年在莱比锡大学学习法律，同时开始接触伽利略、开普勒、笛卡儿、帕斯卡以及巴罗等人的科学思想．1667年获阿尔特多夫大学法学博士学位，次年开始为缅因茨选帝侯服务，不久被派往巴黎任大使．莱布尼茨在巴黎居留了四年(1672—1676)，这四年对他整
2、个科学生涯的意义，可以与牛顿在家乡躲避瘟疫的两年类比，莱布尼茨许多重大的成就包括创立微积分都是在这一时期完成或奠定了基础．6.3.1特征三角形与牛顿流数论的运动学背景不同，莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究．特征三角形，也称“微分三角形”，在巴罗的著作中已经出现．帕斯卡在特殊情形下也使用过这种三角形．莱布尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形．据莱布尼茨后来在《微积分的历史和起源》中自述，他这项发现正是受到了帕斯卡论文《关于四分之一圆的正弦》的启发，他从这篇短文的一个例子中“突然看到一束光明”帕斯卡的“例子”是下述的命题：“圆的一个象限的任何弧的正弦之和
3、，等于界于两端的两个正弦之间的底线段乘以半径．”这里“正弦”是指纵坐标，而在所说的和中，每个纵坐标都要乘以相应的圆的无限小弧而不是乘以底的小段.帕斯卡为了证明他的命题，在四分之一圆上取一点，并过点作一个直角三角形，其斜边与圆相切于．易知△与△相似，于是：△△则△=△帕斯卡将△和△看成是一些不可分量，将它们相加，便得到相当于下式的结果：从而左端可以看成是四分之一圆绕J轴旋转所成的半球的面积．帕斯卡的论证仅限于这一特例，他本人并未察觉其中所使用的三角形的普遍意义．莱布尼茨却由此看到帕斯卡的方法可以推广，对任意给定的曲线都可以作这样的无限小三角形，只要用给定曲线的法线来替代圆半径，而借助于这样
4、的无限小三角形，可以“迅速地、毫无困难地建立大量的定理”，这就是莱布尼茨从帕斯卡的工作中看到的“一束光明”．6.3.2分析微积分的建立早在1666年，莱布尼茨在《组合艺术》一书中讨论过数列问题并得到许多重要结论，例如他考察了平方数序列：0,1,4,9,16,25,36，…及其一阶差1,3,5,7,9,11,…与二阶差2,2,2,2,2,…当时他注意到如果原来的序列是从0开始，那么一阶差的和就是原序列的最后一项，并且这里序列的求和运算与求差运算存在着互逆的关系大约从1672年开始，莱布尼茨将他对数列研究的结果与微积分运算联系起来．借助于笛卡儿解析几何，莱布尼茨可以把曲线的纵坐标用数值表示出
5、来，并想象一个由无穷多个纵坐标y值组成的序列，以及对应的x值的序列，而被看作是确定y纵坐标序列的次序．同时考虑任意两相继的x值之差的序列．莱布尼茨后来在致洛必达(L’Hospital)的一封信中总结说：这使他发现，“求切线不过是求差，求积不过是求和!”莱布尼茨首先着眼于求和，并从简单的情形y=x开始．因为x表示相邻两项的次序，莱布尼茨取序数差为1，设L为两相邻项的实际差.莱布尼茨用拉丁文omnia的缩写omn．表示和，则有：omn.=L=y.在y=x的条件下，如图所示，对于无限小的x来说，ly（矩形的面积）的和等于（三角形的面积）．莱布尼茨在这里认为：“从0起增长的直线，每一个用与它相应
6、的增长的元素相乘，组成一个三角形”．所以可以写出：omn.6.3.3莱布尼茨微积分的发表以上是根据莱布尼茨手稿中出现的内容来追溯莱布尼茨微积分的起源，这些手稿散乱且难懂．大约到17世纪80年代初，莱布尼茨开始总结自己陆续获得的结果，并将它们整理成文，公诸于众．1684年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》(简称《新方法》)，刊登在《教师学报》(ActaEruditorum)上，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献．该文是莱布尼茨对自己1673年以来微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号dx,dy《新方法》中明确陈述了莱布尼茨1677年
7、已得到的函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式.我们知道，莱布尼茨还得出了复合函数的链式微分法则，以及后来又将乘积微分的“莱布尼茨法则”推广到了高阶情形．这些都表明莱布尼茨非常重视微积分的形式运算法则和公式系统．相比之下，牛顿虽然也发现并运用了这些法则，但却没有费心去陈述一般公式，他更大的兴趣是微积分方法的直接应用1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》．这篇论文初步论述了积分或求积问题
