《微积分的创立》doc版

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2、葿袃肂蒃螈袂膅芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀艿芆薂聿羈蒂蒈肈肁芅袆肇芃蒀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈蒇螈莆膁袆螇肆蒆螂螆膈艿蚈螅芀蒄薄螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膅芅蚄袂芇微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在18世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。在数学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期

3、。无限小算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。推广莱布尼兹学说的任务，在从17世纪到18世纪的过渡时期，主要是由雅各布。伯努利（JacobBernoulli，1654—1705）和约翰。伯努利（JohnBernoulli，1667—1748）担当。这两兄弟来自历史上最大的数学家族—瑞士巴塞尔的伯努利家族。这个原先从荷兰安特卫普迁来的商人家庭，在17、18世纪先后产生了十多位著名的数学家，雅各布和约翰是其中最有影响的两位。二人在学术上的争强好胜留下了许多有趣的科学轶闻，但他们都是莱布尼兹忠实的学生与朋友。他们的工作，构成了现今所谓初等微积

4、分的大部分内容。约翰。伯努利和欧拉在他们的论著中使用变量代换和部分分式等方法求出了许多困难的积分，这些方法已经成为今天微积分教科书中求函数积分的常用方法。当18世纪的数学家们考虑无理函数的积分时，他们就在自己面前打开了一片新天地，因为他们发现许多这样的积分不能用已知的初等函数来表示。雅各布。伯努利在求双纽线（在极坐标下方程为）弧长时，得到弧长积分在天文学中很重要的椭圆弧长计算则引导到积分这属于后来所说的“椭圆积分”的范畴，它们既不能用代数函数，也不能用通常的初等超越函数（如三角函数、对数函数等）表示出来。椭圆积分的一般形式是（其中是的有理函数，则是一般的

5、四次多项式）。虽然微积分的创立者已经接触到了偏微商和重积分的概念，但将微积分算法推广到多元函数而建立偏导数理论和多重积分理论的主要是18世纪的数学家。1720年，尼古拉。伯努利（NicolausBernoulliII1687—1759）证明了函数在一定条件下，对求偏导数其结果与求导顺序无关。欧拉在1734年的一篇文章中也证明了同样的事实。在此基础上，欧拉在一系列的论文中发展了偏导数理论。微积分的发展与无穷级数的研究密不可分。牛顿在他的流数论中自由运用无穷级数，他凭藉二项式定理得到了和等许多函数的级数。泰勒级数则提供了将函数展成无穷级数的一般方法。在18世

6、纪，各种初等函数的级数展开陆续得到，并在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力工具。莱布尼兹也曾独立地得到了和等的级数，但他却对微积分问题的有限或封闭形式的解更感兴趣，他的学生们弥补了这方面的不足。尤其是雅各布。伯努利，他在1689—1704年间撰写了5篇关于无穷级数的论文，使他成为当时这一领域的权威，这些论文的主题也是关于函数的级数表示及其在求函数的微分与积分、求曲线下的面积和曲线长等方面的应用。这些构成了雅各布。伯努利对微积分算法的重要贡献。但就级数理论本身而言，其中一个很有启发性的工作是关于调和级数的和是无穷的证明。他首先指出了故有这意味着

7、可将原级数中的项分组并使每一组的和都大于，于是我们总可以得到调和级数的有限多项的和，使它大于任何给定的量。调和级数的讨论引起了对发散级数的兴趣并产生了许多重要的结果，特别是利用发散级数而获得的一些著名的数值逼近公式。例如，斯特林在1730年得到一个发散的级数表示：它相当于。利用它可以作的近似计算。当很大时，，称之为斯特林公式，虽然这一极限情形是由里莫佛得到的。上述斯特林级数系数中出现的叫做“伯努利数”；它们是雅各布。伯努利在他的一部概率论著作《猜测术》（ArsConjectandi，1713）中求整数正整数次幂和公式时得到的。伯努利的公式是：伯努利数今天

8、已成为分析中应用极广的数。除了调和级数，当时引起热烈辩论的另一类发散级数是，雅各