微积分的创立

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1、微积分的创立原婉琪[摘要]介绍了古希腊时代安提丰、中国的刘徽等著作中微积分思想的萌芽，到17世纪初费尔马、巴罗、沃利斯等对微积分的贡献,重点介绍了微积分的创始人牛顿及莱布尼兹在微积分方面的学术成果及学术思想。[关键词]穷竭法；不可分量；微分三角形；首末比分法；微积分基本定理。1、微积分的先驱1.1穷竭法公元前400多年，古希腊数学家安提丰（公元前480——411）在研究化圆为方的问题时首创了“穷竭法”。他认为内接于圆的一个正三角形，如果依次把图形的边数增倍（成为内接六边形，十二边形等），内接多边形的顶点归根到底占用圆周上所有点，最后得到多边形与圆相符合。即多边形的面积

2、越来越接近圆的面积，使圆与内接多边形的面积之差最终将被穷竭。我国早在公元263年刘徽（约225—295）给《九章算术》作的注释中，创造了“割圆术”来计算圆周率的方法。他从圆的内接正六边形算起，依次将边数加倍，一直算到内接192边形的面积，从而得到圆周率π的近似值为157/50=3.14的“微率”,以后他又算到圆内接正3070边形的面积,从而得到π=3927/1250=3.1416。刘徽认为如此增加圆内接多边形的边数，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”这里他已把极限的思想应用于近似值的计算，他的方法除缺少极限表达式外，与现代方法相

3、差无几。1.2不可分量原理意大利数学家卡瓦列（1598—1647）对微积分的最大贡献是建立“不可分原理”,他于1653年发表了名著《用新方法促成的连续不可分几何学》，认为：“几何图形是由无数多个维数较低的不可分量组成，即面积是由无数个等距平行线段构成，体积是无数个平行的平面构成的，他分别把这些元素叫做面积和体积的‘不可分量’，并承认组成面积和体积的不可分量的数目一定是无穷多的。“这种用不可分法求和的原理就是尔后的定积分概念的雏形，他的方法明显地隐含着计算面积和体积的求极限过程，算出了表如=an+1/n+1的基本结果,使早期的积分学突破了体积计算的现实原形,而向一般的算

4、法过渡.他的不可分量在后来牛顿的瞬时概念和莱布尼兹的微积分概念中都有所反映,因此卡瓦列利的原理是通向无穷小的微积分学的阶梯。1.3微分学的起源与积分学相比，微分学的起源则要晚得多，刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率，以及求函数的极大值、极小值问题。法国数学家费尔马（1610—1665）在1629年获得求函数极值的法则，他的法则可用现在的记号表示如下：欲求f(x)（费尔马先取个别整有理数）的极值，先把表达式[f(x＋h)-f(x)]/h按h的乘幂展开，并弃去含h的各项，再令所得的结果为零，这时方程的根就能使f(x)在这一点上有极值，他还用类似的方法

5、求出平面曲线y=f(x)的切线，写出所谓次切线的表达式f(x)·h/[f(x+h)-f(x)]约掉h后再弃去含h的各项，费尔马在这两个问题中的计算都用到了相当于求极限limf[x+h]-f(x)]/h的式子。他的求极值的方法给出了可微函数有极值的必要条件f1(X)=0。他不用类似的方法求出了抛物线的重心，在微积分史上是非常独特的。他还区分极大值和极小值的准则，并有求拐点的方法。费尔马的这些成果对后来微积分的建立产生了深远的影响。英国数学家马罗（1630—1677）与费尔马不同，他使用了几何方法，引入了“微分三角形”[1]的概念，即相当于现在的dx,dy,ds为边的三角

6、形（如图1），PyaQe0TMx设有曲线f(X,Y)=0，欲求其上一点P处的切线，巴罗考虑一段“任意小的弧”PQ，它是由增量QR=e引起的，PQR就是所谓的微分三角形，巴罗认为当这个三角形越来越小时,它与⊿TPM应趋近于相似，故应有PM/TM=PR/QR即y/x=a/eQ，P在曲线上，故应有f（x-e，y-a）-f（x，y）=0。在上式中消去一切包含e，a的幂或二者乘积的项，从所得方程中解出e/a，即切线斜率y/x，于是可得到x值而做出切线，巴罗的方法实质上是把切线看作是当a和e趋于零时割线PQ的极限位置，并列用忽略高阶无限小来取极限。在这里a和e分别相当于现代的dy

7、和dx，而a/e则相当于dy/dx。英国数学家沃里斯（1616——1703）是将分析方法引入微积分贡献最突出的数学家，沃里斯最重要的著名作是《无穷算术》（1655年），他用算术不可分量方法获得了许多重要结果，其中之一就是卡瓦列利的幂函数的积分公式∫a0xndx=an+1/n+1的推广到分数幂情形。他从已知的极限lim(0k+1k+…+nk)/(nk+nk+…nk)=k+1,得=1/[p/(q+1)]=q/(p+q)并进而猜测∫a0xndx=ap/(q+1)/[(p/q)+1]=[q/(p+q)]a(p+q)/q沃利斯另一项重要研究是计算1/4单位圆的