《Z变换例题》PPT课件

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1、第二章Z变换例题重要概念：连续系统：傅里叶变换————拉普拉斯变换离散系统：傅里叶变换————Z变换重点：Z变换收敛域，零极点的概念，Z变换的基本性质和定理，单位取样响应h(n)的Z变换---系统函数与系统稳定性之间的关系。例1求以下序列的Z变换，并求出对应的零极点和收敛域：（1）（2）（3）（4）分析：中，n的取值范围是的有值范围，z变换的收敛域是满足的z值范围。解：（1）由z变换的定义可知：收敛域为即极点为零点为（2）由z变换的定义可知：收敛域为：极点为零点为：（3）由z变换的定义可知：收敛域为极点为零点为（4）由z变换的定义可知：与的收敛域相同，所以的收

2、敛域是极点零点例2假如的z变换表示式为下式，问可能有多少不同的收敛域，它们分别对应什么序列？分析：有限长序列的收敛域为特殊情况：右边序列的收敛域为Rx-<

3、z

4、<∞因果序列Rx-<

5、z

6、≤∞;左边序列的收敛域为特例双边序列的收敛域为有三种收敛域：圆内，圆外，环状。（需单独讨论。）解：对X(z)的分子和分母因式分解，得从上式得出，X(z)的零点为1/2,极点为j/2,-j/2,-3/4。所以X(z)的收敛域为：（1）为双边序列。（2）为左边序列。（3）为左边序列。例3用长除法，留数定理法，部分分式法求下列X(z)的z反变换。分析：（1）长除法：对右边序列，分子分

7、母都按z的降幂排列。对左边序列分子分母都按z的升幂排列。（2）部分分式法：若X(z)用z的正幂表示，则按X(z)/z写成部分分式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得x(n)。（3）留数定理法：要化成的形式与抵消。围线内极点留数时不取“－”，围线外极点留数时要取“－”，解：（ａ）长除法可知极点z=－1/2，而收敛域为，故x(n)为因果序列，所以分子分母按降幂排列。即所以：（b）留数定理法：设ｃ为内的逆时针方向闭合曲线。当时在ｃ内有ｚ＝－1/2一个单极点，则又因为x(n)是因果序列，故n<0时，x(n)=0所以（c）部分分式法由题得因为所以例4

8、对因果序列，初值定理是，如果序列为n>0时x(n)=0，问相应的定理是什么？讨论一个序列x(n)，其Z变换为X(z)的收敛域包括单位圆，试求其x(0)值。分析：求如何由双边序列z变换X(z)求序列初值x(0)。把序列分成因果序列和反因果序列两部分（它们求初值的表达式不同），分别求x(0)将两部分的x(0)相加即得所求。解：当序列满足n>0，x(n)=0时有所以有若序列x(n)的z变换为所以X(z)的极点为z1=2，z2=1/2由题知，X(z)的收敛域包括单位圆，则其收敛域为因而，时有值的左边序列，时有值的右边序列。则得例5有一信号y(n)与另两个信号的关系是其

9、中已知利用Z变换的性质求y(n)的z变换Y(z)。分析（1）移位定理（2）时域卷积定理解：根据题目条件可得又由移位定理得而所以收敛域例6已知用下列差分方程描述一个线性移不变因果系统（1）求这个系统的系统函数，并指出其收敛域；（2）求此系统的单位抽样响应；（3）此系统为不稳定系统，请找出一满足上述差分方程的稳定的（非因果）系统的单位抽样响应。分析：系统函数求收敛域，要先求零极点。收敛域为z平面某个圆外，则为因果系统（不一定稳定）收敛域若包括单位圆，则为稳定系统（不一因果）。解：（1）对题中的差分方程两边作z变换，得所以可求得零点为极点为又因为是因果系统，所以是其

10、收敛域。因为所以式中由于H(z)的收敛域不包括单位圆，故这是个不稳定系统（3）若要系统稳定，则收敛域应包括单位圆，因此选H(z)的收敛域为，则式中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。所以有此系统是稳定的，但不是因果的。第三章DFT例题重要概念DFT的定义DFT的周期性，对称性频率域采样定理；DFT的应用圆周卷积与线性卷积例1试求以下有限长序列的N点DFT（1）（2）分析：利用有限长序列的DFT的定义解：（1）因为所以（2）因为所以例2设有两个序列各作15点DFT，然后将两个DFT相乘，再求乘积的IDFT，设所得结果为f(n)，问f(n)的那些点

11、对应应该得到的点。分析：本题相当于在时域作圆周卷积。设线性卷积结果系列为N点，若作L点圆周卷积，则应将线性卷积结果以L点为周期作周期延拓，混叠相加，然后再取主值区间（n=0~L-1)的序列，该序列即为L点圆周卷积结果。混叠点数为N-L，故在ｎ＝０～Ｎ-Ｌ-１处发生混叠,n=N-L到N=L-1点处，圆周卷积结果相当于线性卷积结果。解序列x(n)的点数为，y(n)的点数为，故的点数应为又f(n)为x(n)与y(n)的15点圆周卷积，即L=15。所以混叠点数为N-L=20-15=5。即线性卷积以15为周期延拓形成圆周卷积序列f(n)时，一个周期内在n=0~4这5点发

12、生混叠，即f(n)中只有n=5到n=1