DVD在线租赁模型

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1、《数模探索》DVD在线租赁模型2006年第一期(总第5期)DVD在线租赁模型任祝王雷胡依娜（浙江师范大学，浙江金华，321004）摘要本文对DVD的在线租赁所涉及的一些问题进行了讨论，建立了相应的模型。对于问题一，首先对租赁事件中的一些随机因素进行概率分析，其次在将一个月平均划分成若干周期的情况下建立递归模型并求解，进而对每种可能的划分结果进行讨论和比较，得出将每个月分成4个周期处理比较合理。具体求解结果见正文表4.1.2。对于问题二，只需考虑一次租赁。将各会员对DVD的偏爱程度进行转化，建立满意度矩阵，并根据现有DVD的数量在保证每位会员能得到3张光盘的前提下，以满意度最大为目标建

2、立0-1规划模型，利用计算机搜索法对模型进行求解，得到目标函数的最大值为0.9165。DVD的分配情况见正文表4.2.1。接着，在一定范围内让给定的DVD现有数量发生微小变化，采用多次实验法来观察其对模型结果的影响，结果表明问题二的模型稳健性比较好。对于问题三，在问题二的基础上增加了求解DVD购买量的过程，由此我们建立了使会员满意度达到尽可能大并且DVD购买量尽可能小的多目标线性规划模型，并采用基于Δa准则的线性加权法对上述模型中的权重系数进行求解，得到α=0.4779，α=0.5221。进而将多目标规划模型转化为单目标规划模型后得到问题的最优解为12929.4233。接着我们采用计

3、算机模拟的方法对此模型的求解结果进行检验，检验表明问题三的模型是比较令人满意的。对于问题四，首先建立一个对需求量预测的神经网络模型，其次通过综合考虑一些重要因素，从购买和分配问题上对问题二和问题三的模型进行了进一步的改进。对问题二，通过同时考虑网站经济利益，可以对原问题二的结果进行删选优化，得出更优的解。对问题三，可采用模糊线性多目标规划模型来解决因考虑DVD价格因素所造成的结果不确定性问题。关键词租赁事件递归模型多目标规划神经网络模糊多决策文章号TS200603005一、问题的重述及背景（略）二、模型假设a)模型假设1.网站每月提供寄送DVD的次数根据问题一中所确定的次数为准，每次

4、相隔时间相等。2.会员租借DVD的最长时间为一个月。3.网站在寄送DVD给会员前必须保证该会员上次所借DVD已全部归还到网站。4.固定调查人数中每月租赁DVD两次和租赁一次的会员所占比例保持60%和40%不变。5.题表中的样本数据能够真实地反映总体数据的情况。6.会员每次所租借的DVD各不相同，并且相邻的两次所租借的DVD种类也不会相同。7．DVD在邮寄过程中不发生意外的损失和破坏。5959《数模探索》DVD在线租赁模型2006年第一期(总第5期)三、符号说明M：题表二样本中的会员数1000N：题表二样本中DVD类别数100(c)：会员的单位量化矩阵i,jM×N(x)：发放给第i名会

5、员第j种DVD的数量（取值0或1）i,jM×Nb：定第j种DVD的现有数量（j=1,2,…N）jC：会员对DVD的偏爱程度矩阵ij四、模型的建立与求解b)问题一：根据不同情况确定DVD的最少准备量4.1.1建立递归模型对于总体要分析的10万个会员，根据题表1的结果以及模型假设，可以把1000位会员作为一个样本，它反映了10万会员这个整体的信息，所以我们可以得到5种DVD在整体中愿意观看的人数记为向量：l=()20000,10000,5000,2500,1000从历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次（记为A类），而另外40%的会员每月租赁DVD一次（记为A类），对十万个会员来说

6、，判断每个会员是属于上述哪一类的过程是相互独立的，所以这个过程可以看作是P（A）=0.6，P(A)=0.4的伯努利试验。在任意n个会员中，以X表示发生属于A类的人数（即n个人中有X人会每月借两次），则X服从参数为n和0.6的二项分布：⎛n⎞kn−k⎛n⎞n!k!P{X=k}=⎜⎜⎟⎟0.6()1−0.6,k=0,1,...,n，其中⎜⎜⎟⎟=⎝k⎠⎝k⎠()n−k!设ni（i=1,2,3,4,5）代表第i种DVD至少需要准备的数量，一个月可以划分为T个时间周期段，会员能够在各个周期段的开始处租赁DVD。因为在这些会员中有一部分会员是每个月要借两次的，所以得出T≥2。从而我们便可以根据

7、以下过程进行模型的建立：1).第一段初：为了使准备的DVD数量n最小，我们需要将n张DVD在第1段的时候全部都ii发给n个不同的人，记a=n代表第一次获得DVD的人数。i0i2).第二段初：在第1段中有部分人将会把借去的DVD在这个时段已经归还，这些DVD就可以在此段继续实行租赁，这部分归还DVD的人可能会来自两种会员：第一种是A类。因为A类的会员一月要借两次，所以他们在第T段以前必须把DVD归还，否则在这个月无法满足借两次的要求，这样他们可以在第1至T-