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《6.4数列通项与求和》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、6.4 数列的通项与求和Ⅰ知识梳理数列求和的常用方法1.公式法2.倒序相加法3.错位相减法4.裂项相消法5.分组转化法6.并项法定义及通项特征涉及公式典型例题小结及作业1.公式法:直接应用等差或等比数列求和公式及常见公式的求和方法(1)等差、等比数列的求和公式__________________________(2)掌握一些常见的数列的前n项和.①1+2+3+…+n=;②1+3+5+…+(2n-1)=;③2+4+6+…+2n=;④12+22+32+…+n2=;⑤13+23+33+…+n3==.答案：(2)①②n2③n(n+1) ④⑤返回知识框2.倒序相
2、加法如果一个数列{an},与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如数列的前n项和公式即是用此法推导的.3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如数列的前n项和公式就是用此法推导的.答案：等差练一练1答案：等比练一练2注意事项：1)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.将通项裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.4.裂项相消法
3、：把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.2)常见的拆项公式有:(1)=-;(2)=;(3)=;(4)=;(5)=(-).练一练35.分组转化法把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转化成等差数列或等比数列,然后由等差、等比数列求和公式求解.练一练46.并项求和法一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.例如Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050Ⅱ基础自测一、倒序相
4、加法求和例1.已知函数则解：返回知识框二、错位相减法例2.设数列的通项公式是，求其前n项和。方法提炼1.用错位相减法求和时,应注意:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.2.利用错位相减法求和时,转化为等比数列求和.若公比是个参数(字母),则应先对参数加以讨论,一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和.返回知识框三、裂项相消法例3.设数列的通项公式是，求其前n项和。返回知识框四、分组转化法求和【例4】(1)已知函数f
5、(x)=2x-3x-1,点(n,an)在f(x)的图象上,an的前n项和为Sn，求Sn.(2)数列的通项，求前n项和SnSn=a1+a2+…+an=(2+22+…+2n)-3(1+2+3+…+n)-n=-3·-n=2n+1--2.解:(1)依题意an=2n-3n-1,(2)方法提炼1.数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项,然后通过对通项变形,转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和.2.常见类型及方法.(1)an=kn+b,利用等差数列前n项和公式直接求解;(2)an=a·qn-1,利用等比数列前n项和公式直接求解;(3)an=bn
6、±cn,数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,采用分组求和法求{an}的前n项和.返回知识框Ⅱ基础自测1.+++…+等于( ).A.B.C.1-D.3-答案：A2.已知数列{an}的通项公式是an=,其前n项和Sn=,则项数n等于( ).A.13 B.10C.9 D.63.数列{(-1)n(2n-1)}的前2012项和S2012=( ).A.-2012 B.2012C.-2011 D.2011答案：D答案：B4.(东方红中学高三摸底)已知数列{an}的前n项和为Sn且an=n·3n,则Sn=
7、.答案：Ⅲ能力提升【1】已知等差数列{an}的首项a1≠0,前n项和为Sn,且S4+a2=2S3;等比数列{bn}满足b1=a2,b2=a4.(1)求证:数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的项;(2)若a1=2,设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.(1)证明:设等差数列{an}的公差为d,由S4+a2=2S3,得4a1+6d+a1+d=6a1+6d,∴a1=d,则an=a1+(n-1)d=na1.∴b1=2a1,b2=4a1.等比数列{bn}的公比q==2,则bn=2a1·2n-1=2n·a1,∵2n∈N*,∴{bn}中的每一项都是{an}中
8、的项.(2)解:当a1=2时,bn=2n+1,cn==2,则Tn=c1+c2+…+cn=2=2
