数列通项和数列求和

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1、§5.4数列的通项及数列求和(时间：50分钟　满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　)A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n－2解析：Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.答案：C2．数列9,99,999,9999，…的前n项和等于(　　)A．10n－1B.(10n－1)－nC.(10n－1)D.(10n－1)＋n解析：an＝10n－1，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1)＝(10＋102＋…＋10n

2、)－n＝－n.答案：B3．(2011·昆明模拟)数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为(　　)A．11B．99C．120D．121解析：∵an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.令－1＝10，得n＝120.答案：C4．数列1，，，…，的前n项和Sn等于(　　)A.B.C.D.解析：an＝＝2，所以Sn＝2＝2＝.答案：B5．已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Tn＝，则项数n等于(　　)A．13B．10C．9D．6解析：an＝1－，因此Sn＝n－，由n－1＋＝，可观察出n＝6.答案：D二、填空

3、题(每小题4分，共16分)6．对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，如[0.32]＝0，[5.68]＝5.若n为正整数，an＝，Sn为数列{an}的前n项和，则S4n＝________.解析：本题考查数列求和以及分析、等价转化能力．题目背景是取整函数，解题关键是了解题设背景，迅速进入问题情境，善于将问题等价转化．因为an＝，所以，a4n＝a4n＋1＝a4n＋2＝a4n＋3＝n，S4n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n，＝(a4＋a5＋a6＋a7)＋…＋(a4n－4＋a4n－3＋a4n－2＋a4n－1)＋a4n＝4(1＋

4、2＋…＋n－1)＋n＝2n2－n.答案：2n2－n7．已知数列{an}满足＝(n∈N*)，且a1＝1，则an＝________.解析：本题考查利用递推公式确定数列通项公式．据已知可得，当n≥2时利用累积法得：an＝a1···…·＝1····…··＝，又验证知a1＝1也适合，故an＝.答案：8．已知f(x)＝，求f＋f＋…＋f＝________.　解析：由f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＋＝1.所以f＋f＝f＋f＝…＝f＋f＝1.∴f＋f＋…＋f＝5.答案：59．(2011·张家口模拟)如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1

5、)(n＋a)(n＋b)对一切n∈N*都成立，则a，b的值应等于________．解析：由当n＝1时，(1＋a)(1＋b)＝6①当n＝2时，(2＋a)(2＋b)＝30②解①②可得a＝2，b＝3.答案：2；3三、解答题(共3小题，共34分)10．(本小题满分10分)根据下列数列的通项公式，求数列{an}的前n项和Sn.(1)an＝0.999…；(2)an＝n(n＋1)；(3)an＝；(4)an＝n·2n；(5)an＝an(an－1)．解：(1)an＝0.999…＝1－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＋＋…＋＝n－.(2)an＝n(n＋1)＝n2＋n，∴Sn＝a1＋a

6、2＋…＋an＝(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(n2＋n)＝(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋…＋n)＝n(n＋1)(n＋2)．另解：an＝n(n＋1)＝A，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝A＋A＋…＋A＝A(C＋C＋…＋C)＝AC＝n(n＋1)(n＋2)．(3)an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＋＋…＋＝.(4)∵an＝n·2n，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2＋2×22＋…＋n2n，①∴2Sn＝22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1.②①－②得：－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1＝2(2n－1)－n2n＋1，∴Sn＝(n－1)2n＋

7、1＋2.(5)①若a＝0，则an＝0，∴Sn＝0.②若a＝1，则an＝0，∴Sn＝0.③若a＝－1，则an＝1－an.Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(1－a)＋(1－a2)＋…＋(1－an)＝n－＝n＋.④若a≠0，a≠±1，则an＝an(an－1)＝a2n－an，Sn＝(a2－a)＋(a4－a2)＋…＋(a2n－an)＝(a2＋a4＋…＋a2n)－(a＋a2＋…＋an)＝－.11．(本小题满分12分)(2011·济宁模拟)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越

8、漂亮；现按同样的规律刺绣