信号与系统教学课件作者王丽娟第4章节拉氏变换课件

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1、1第4章LTI连续时间系统的复频域分析法4.1引言4.2单边拉普拉斯变换4.3单边拉普拉斯变换的常用性质与定理4.4拉普拉斯反变换4.5用拉普拉斯变换分析LTI连续时间系统4.6系统的零、极点分析4.7LTI连续时间系统的模拟2机械工业出版社尽管傅里叶变换在工程与科学研究领域应用十分广泛，但存在以下两点严重不足。1、在无线电技术中常用的指数增长函数eat不在傅里叶变换之列，这给工程应用带来了不便。2、不便于求解具有初始状态的LTI因果连续时间系统的响应。拉普拉斯变换能够克服傅里叶变换以上两点不足。拉普拉斯变换是法

2、国数学家和天文学家拉普拉斯为解微分方程提出的一种复数变换方法。拉普拉斯在1779年发表的论文里首次提出该变换方法时，没有引起人们的注意。直到一百多年后才被理解与流行，并命名为拉普拉斯变换。4.1引言3机械工业出版社本章侧重讨论三方面的内容：单边拉普拉斯变换的基本知识，包括拉普拉斯变换的定义、收敛域、常用性质和拉普拉斯反变换；(2)单边拉普拉斯变换的应用，学习用拉普拉斯变换求解LTI连续时间系统响应的变换域方法，讨论系统的稳定性、时频特性等一系列问题。(3)介绍系统模拟图的概念和方法。4机械工业出版社4.2单边拉普

3、拉斯变换4.2.1单边拉普拉斯变换的定义一、从傅里叶变换到单边拉普拉斯变换的演变引出单边拉普拉斯变换的条件：1、在实际应用中，激励、系统、响应都具有因果性，故设f(t)是因果函数，用f(t)u(t)表示。2、f(t)u(t)绝对不可积，但。则函数e-tf(t)u(t)绝对可积，能够直接用定义求其傅里叶变换。5机械工业出版社令f1(t)=e-tf(t)u(t)，其傅里叶正变换为令s=s+jw，代入上式得含义：求e-tf(t)u(t)的谱函数等于求f(t)u(t)的复变函数。F1(jw)的傅里叶反变换为等式两边

4、同乘est，把F1(jw) =F(s)，s=s+jw，ds=jdw代入式中，得6机械工业出版社拉普拉斯正变换二、单边拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的定义称时间函数f(t)或f(t)u(t)为“原函数”，复变函数F(s)为“象函数”。拉普拉斯变换是t域函数f(t)与s域函数F(s)之间的变换。f(t)与F(s)的拉普拉斯变换关系常用以下符号表示：拉普拉斯反变换7机械工业出版社1、为什么正、反变换的原函数相差一个u(t)？在单边拉普拉斯正变换中，原函数可以是非因果信号，所以在拉氏正变换中用f(t)表示。由于正变换是对原

5、函数从t=0−开始的积分，丢掉了原函数中t<0的信息，反变换只能还原t>0的函数值，所以在拉氏反变换式中原函数用因果函数f(t)u(t)表示。推论：两个t≥0的波形相同，t<0波形不同的原函数，它们单边拉普拉斯变换的象函数完全相同。三、定义说明8机械工业出版社2、拉普拉斯正变换存在三种积分下限定义（1）当积分下限取-∞时，把f(t)在整个时间轴上的积分称为双边拉普拉斯变换。（2）当积分下限取0时，把只在正时间轴上的积分称为单边拉普拉斯变换。在单边拉普拉斯变换中，若下限取0−，为“0−系统”模式；若下限取0+，则称

6、为“0+系统”模式。由于0+模式不如0-模式的实用性强，早在20世纪60年代初便被电气工程师们搁置了起来[3]。所以本课程只介绍与讨论“0-系统”模式的单边拉普拉斯变换。9机械工业出版社4.2.2单边拉普拉斯变换的收敛域一、单边拉普拉斯变换的存在条件对于任意函数f(t)，如果能找到一个实数s0，当s>s0时，使得则函数f(t)存在单边拉普拉斯变换，否则不存在。诠释存在条件：象函数F(s)的自变量s=s+jw是复数，s在复平面上取值；每一个确定的复数s0=s0+jw0对应平面上的一个点。10机械工业出版社当某函数存

7、在拉氏变换时，在横轴上一定能找到一点s0，通过s0的垂线把s平面分割为两个区域。Re[s]=s>s0是垂线的右边区域，为单边拉氏变换的收敛域。当s在s>s0的区域内取值时，F(s)存在。换句话说，倘若某个f(t)能在s平面上找到其对应F(s)的收敛域，该函数f(t)的拉氏变换存在；否则，其拉氏变换不存在。Re[s]=sIm[s]=jws0w0s+j∞s-j∞傅氏反变换路径拉氏反变换路径s0=s0+jw0jw收敛轴(s0,0)收敛坐标收敛域s11机械工业出版社二、几类函数的拉氏变换收敛域1.绝对可积函数绝对可

8、积函数都存在傅里叶变换。所以这函数都有拉氏变换，拉氏变换的收敛域包含虚轴。所以e-atu(t)的拉氏变换收敛区域为s>-a。jws-a比如，(a>0)绝对可积，e−stf(t) =e−(s+a)tu(t)，当s+a>0时，12机械工业出版社jws3.幂函数tnu(t)幂函数与以上第2类函数相似，虽然不满足绝对可积条件，但都有傅里叶变换。只要s>0，便可使得象函数收敛。幂函