高等数学(下)期末总复习

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1、期末总复习（一）平面与平面的位置关系（平行、夹角）直线与平面的位置关系。（1）设则（一）平面与平面的位置关系（平行、夹角）直线与平面的位置关系。（2）设则（一）平面与平面的位置关系（平行、夹角）直线与平面的位置关系。（3）典型例题例1：已知三个平面的一般方程为则必有（）解：B例2：设直线L和平面的方程分别为则必有（）解：C例3：求过直线解：设过直线L的平面束方程为且与平面夹角为的平面方程。（二）多元函数的定义域、在某点的极限、导数；多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导）、多元函数的微

2、分、曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线、Lagrange乘数法求最值、方向导数（1）多元函数在某点的极限、导数要点：I：求二元函数在某点的极限（3）曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线要点：I：曲面在某点处的切平面（1）设曲面方程为第一步：计算第二步：计算曲面的法向量第三步：分别写出切平面和法线的方程（2）设曲面方程为第一步：取第二步：计算曲面的法向量第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法线的方程要点II：空间曲线的切线与法平面（1）设空间曲线的方程第一步：确定点第二步

3、：计算第三步：利用对称式和点法式分别写出切线和法平面的方程（2）设空间曲线的方程（3）设空间曲线的方程拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：（2）联解方程组，求出问题1的所有可能的极值点。问题1：求函数z=f(x,y)在约束条件(x,y)=0下的极值（称为条件极值问题）。（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。（4）Lagrange乘数法求最值。例1：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：设(x,y,z)为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为

4、问题1：在约束条件下，求距离d的最大最小值。由于d中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题1转化为下面的等价问题问题2：在条件下，求函数的最大最小值。问题1：在约束条件下，求距离d的最大最小值。（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组求得两个驻点：对应的距离为例1：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：问题1：在约束条件下，求距离d的最大最小值。求得两个驻点：对应的距离为（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在。所以最近距离为最远距离为三

5、、二重、三重积分的计算（极坐标、直角坐标、柱面坐标）重点内容（1）二重积分中二次积分的交换次序；答案:例2：试证：（2）利用极坐标计算二重积分；再根据D的极坐标表示，将极坐标下的二重积分化为累次积分。（3）三重积分在直角坐标系中“先二后一”的计算方法；在下面两种情形下，比较适合用此方法。（1）被积函数是一个一元函数，或计算二重积分比较容易。（2）截面的形状比较简单（4）三重积分在直角坐标系中“先二后一”的计算方法；例6：提示：再对用“先二后一”的方法计算，并用对称性给出另外两项的结果。四、第一、

6、二类曲线积分，第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。（1）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法；（2）基本公式格林公式高斯公式主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分主要作用：将曲面积分转化为三重积分（3）基本应用：格林公式和高斯公式的两类典型应用题：2.平面曲线积分3.二元函数的全微分求积问题“封口法”和“挖洞法”。与路径无关在单连通区域G内为某个二元函数u的全微分且（4）基本计算技巧1.利用对称性；2.利用曲线或曲面方程化简被积函数；3.利用关系式将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分；

7、4.利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简化平面曲线积分。五、数项级数收敛性判别，幂级数的收敛半径，收敛区间，幂级数求和函数，傅里叶级数的收敛定理。（1）数项级数收敛性判别1.正项级数比较判别法，比值判别法，根值判别法，收敛的必要条件几何级数、P级数和调和级数2.交错级数：莱布尼茨定理3.任意项级数：绝对收敛和条件收敛。任意项级数收敛性判断的一般步骤：（1）检验（3）用正项级数审敛法检验是否收敛？则原级数绝对收敛，从而收敛，（4）若发散，但是用比值或根值法判断的则原级数也发散。是否成立？若否，

8、则原级数发散若是或难求，则进行下一步；若是，否则，进行下一步；（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步（5）用性质或其它方法。（2）幂级数的收敛半径和收敛域求幂级数（1）利用极限（2）判定幂级数在端点确定收敛半径R及收敛区间处的收敛性，收敛域的一般步骤：（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。说明（1）幂级数中不能出现“缺项”。（2）对幂级数要先做变换（3）求幂级数的和函数求幂级数（1）利用极限（2）判定幂级数在端点确定收敛半径R及收敛区间处的