高考专题辅导与测试第2部分 专题一 第二讲 数学思想专练(二)

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1、[数学思想专练(二)]一、选择题1．不等式x2－logax<0，在x∈时恒成立，则a的取值范围是(　　)A．01D．0

2、与y＝ex的图像，由图像可知两个函数图像有两个交点，∴函数g(x)＝f(x)－ex有两个零点．3．已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是(　　)A．4B．3C．2D．1解析：选A　令x＋1＝0，得x＝－1，令log2x＝0，得x＝1；令F(x)＝f(f(x))＋1，则F(x)＝作出函数y＝F(x)的图像如图所示，有4个零点．4．已知平面向量a、b，

3、a

4、＝1，

5、b

6、＝，且

7、2a＋b

8、＝，则向量a与向量a＋b的夹角为(　　)A.　　　　B.C.　　　　D．π解析：选B　∵

9、2a＋

10、b

11、2＝4

12、a

13、2＋4a·b＋

14、b

15、2＝7，

16、a

17、＝1，

18、b

19、＝，∴4＋4a·b＋3＝7，即a·b＝0，∴a⊥b.如图所示，a与a＋b的夹角为∠COA，4∵tan∠COA＝＝，∴∠COA＝，即a与a＋b的夹角为.5．以椭圆的右焦点F2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于M，N两点，若直线MF1(F1为椭圆的左焦点)是圆F2的切线，则椭圆的离心率为(　　)A．2－B.－1C.D.解：选B　如图，易知

20、MF2

21、＝c，∵

22、MF1

23、＋

24、MF2

25、＝2a，∴

26、MF1

27、＝2a－c.在△F1MF2中，∵M

28、F1⊥MF2，又

29、F1F2

30、＝2c，∴(2a－c)2＋c2＝(2c)2，即2a2－2ac－c2＝0.方程两边同除以－a2得e2＋2e－2＝0，解得e＝－1.6．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)A．(1,10)B．(5,6)C．(10,12)D．(20,24)解析：选C　画出函数f(x)的图像，再画出直线y＝d(0

31、lga

32、＝

33、lgb

34、，得－lga＝lgb，

35、从而得ab＝1，则10

36、x

37、≤2)的图像与函数y＝k(x－2)＋4的图像有两个交点，那么实数k的取值范围是________．解析：函数y＝1＋的值域为[1,3]，将y－1＝两边平方，得x2＋(y－1)2＝4，考虑到函数的值域，函数y＝1＋的图像是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，半圆的端点为点A(－2,1)和点B(2,1)；函数y＝k(x－2)＋4是过定点P(2,4)的直线．画出两函数的图像如图所示，易得实数k的范围是.答案：48．已知＋＝1(a

38、>0，b>0)，当ab取最小值时，方程－x＝的实数解的个数是________．解析：＝≤·2＝，当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，则方程1－x＝，在同一坐标系作出y1＝－(x－1)和y2＝的草图，交点个数为1，即方程的解的个数为1.答案：19．已知函数f(x)＝(a是常数且a>0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)>0在上恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<.其中正确命题的序号是________．

39、解析：如图所示，作出函数f(x)的图像，显然f(x)在(－∞，0)上单调递减，而a>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－1，故命题①正确；显然，函数f(x)在R上不是单调函数，②错误；因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在上的最小值为f＝2a×－1＝a－1，所以若f(x)>0在上恒成立，则a－1>0，即a>1，故③正确；由图像可知在(－∞，0)上对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<成立，故④正确．综上，正确的命题有①③④.答案：①

40、③④三、解答题10．已知a>0，函数f(x)＝x

41、x－a

42、＋1(x∈R)．(1)当a＝1时，求所有使f(x)＝x成立的x的值；(2)当a∈(0,3)时，求函数y＝f(x)在闭区间[1,2]上的最小值．解：(1)因为x

43、x－1

44、＋1＝x，所以x＝－1或x＝1.(2)f(x)＝(其示意图如图所示)4①当0