高考专题辅导及测试第2部分 专题一 第四讲 数学思想专练(四)

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1、[数学思想专练(四)]一、选择题1．若a>2，则关于x的方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有(　　)A．0个根B．1个根C．2个根D．3个根解析：选B　设f(x)＝x3－ax2＋1，则f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)在(0,2)上为减函数．又f(0)f(2)＝1×＝－4a<0，所以f(x)＝0在(0,2)上恰好有1个根．2.如图所示，已知三棱锥PABC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥PABC的体积为(　　)A．40B．80C．160D．240

2、解析：选C　因为三棱锥PABC的三组对边两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)．把三棱锥PABC补成一个长方体AEBGFPDC，易知三棱锥PABC的各边分别是此长方体的面对角线，不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，则由已知，可得⇒从而知VPABC＝VAEBGFPDC－VPAEB－VCABG－VBPDC－VAFPC＝VAEBGFPDC－4VPAEB＝6×8×10－4××6×8×10＝160.3．定义运算：(a⊕b)⊗x＝ax2＋bx＋2.若关于x的不等式(a⊕b)⊗x<0的解集为{x

3、1

4、式(b⊕a)⊗x<0的解集为(　　)A．(1,2)B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C.D.∪(1，＋∞)解析：选D　1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根，1＋2＝－，1×2＝，解得所以(－3⊕1)⊗x＝－3x2＋x＋2<0，即3x2－x－2>0，解得x<－或x>1.4．已知＝(cosθ1,2sinθ1)，＝(cosθ2，2sinθ2)，若＝(cosθ1，sinθ1)，＝(cosθ2，sinθ2)，且满足·＝0，则S△OAB等于(　　)A.B．1C．2D．4解析：选B　由条件·＝0，可得cos(θ1－θ2)＝0.利用特殊值，如设θ

5、1＝，θ2＝0，代入，则A(0,2)，B(1,0)，故面积为1.5．已知函数f(x)＝4sin2－2cos2x＋1且给定条件p：“≤x≤”，又给定条件q：“

6、f(x)－m

7、<2”，且p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　)A．(3,5)B．(－2,2)C．(1,3)D．(5,7)解析：选D　f(x)＝4sin2－2cos2x＋1＝2－2cos2x＋1＝2sin2x－2cos2x＋3＝4sin＋3.令t＝2x－，当≤x≤时，f(x)＝g(t)＝4sint＋3，≤t≤，∴当≤x≤时，f(x)max＝7，f(x)min＝5.∵p是

8、q的充分条件，∴对∀x∈，

9、f(x)－m

10、<2恒成立，即m－20，即(2m＋1)(6m2－2m＋1)<0.∵6m2－2m＋1>0，∴m<－.即当m<－时，抛物线上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，所以如果抛物

11、线y＝x2上的所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分，那么m≥－.二、填空题7.若x，y∈R，集合A＝{(x，y)

12、x2＋y2＝1}，B＝，当A∩B有且只有一个元素时，a，b满足的关系式是________．解析：A∩B有且只有一个元素可转化为直线－＝1与圆x2＋y2＝1相切，故圆心到直线的距离为＝1.∵a>0，b>0，∴ab＝.答案：ab＝8．(2013·呼和浩特模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a＋an，用[x]表示不超过x的最大整数，则＝________.解析：因为＝＝－，所以＝－，所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝－，

13、又a1＝1，所以∈(0,1)，所以－∈(0,1)，故＝0.答案：09．在各棱长都等于1的正四面体OABC中，若点P满足＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则

14、

15、的最小值等于________．解析：因为点P满足＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，所以点P与A、B、C共面，即点P在平面ABC内，所以

16、

17、的最小值等于点O到平面ABC的距离，也就是正四面体的高，为.答案：三、解答题10．(2013·海淀模拟)在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC的中点，又∠CAD＝30°，PA＝AB＝4，点N在

18、线段PB上，且＝.(1)求证：BD⊥PC；(2)求证：MN∥平面PDC；(3)设平面PAB∩平面PCD＝l，试问直线l是否与直线CD平行，请说明理由．解：(1)证明：因为△ABC是正三角形，M是AC的中点，所以BM⊥AC，即BD⊥AC.又因为PA⊥