第3节二次函数

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1、第3节二次函数、二次方程、二次不等式一、知识框架1.二次函数的三种解析式：2.二次函数图象及性质3.三个“二次”基本关系xx1x20-yyX2x1=x0-x△=△>0△=0△<0一元二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象yyYx一元二次方程的根的情况有二个不相等实数根有二个相等实数根无实根一元二次不等式的解集ax2+bx+c>0(a>0)Rax2+bx+c<0(a>0)二、基础自测1.若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上是单调递增函数，则实数k的取值范围是________．2.函数为偶函数，则实数3.若不等式的解集是,则a的值为4

2、.已知不等式的解集为,则实数a的取值范围是5.方程在（0，1）内恰有一解，则实数的取值范围是6.已知是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集用区间表示为.三、典型例题例1．函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，对于任意的x∈[－2,2]总有f(x)≥0成立，求a的取值范围．例2.已知a是实数，函数f(x)＝2x2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间(－1,1)上有零点，求实数a的取值范围例3.设二次函数，方程的两根和满足．（I）求实数的取值范围；（II）试比较与的大小．并说明理由．例4.已知函数（）在区间上有最大值和最小值．设．（1）求、的值；

3、（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围．[来源例5.设为实数，函数.学科网(1)若，求的取值范围；学科网(2)求的最小值；学科网(3)设函数，直接写出不等式的解集.四、巩固提升1.已知a>0且a≠1，当x∈(－1,1)时，不等式x2－ax<恒成立，则a的取值范围________2.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．3.已知函数f(x)＝

4、x2－2ax＋b

5、(x∈R)．给出下列命题：①f

6、(x)必是偶函数；②当f(0)＝f(2)时，f(x)的图象必关于直线x＝1对称；③若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数；④f(x)有最大值

7、a2－b

8、.其中正确的序号是________4.设函数f(x)＝其中b>0，c∈R.当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若方程f(x)＝x＋a(a∈R)至少有两个不相同的实数根，求a取值的集合．5.对于函数f(x)，若存在实数对(a，b)，使得等式f(a＋x)·f(a－x)＝b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f(x)是“(a，b)型函数”．已

9、知函数g(x)是“(1,4)型函数”，当x∈[0,2]时，都有1≤g(x)≤3成立，且当x∈[0,1]时，g(x)＝x2－m(x－1)＋1(m>0)，试求m的取值范围．6.已知，函数，（1）当=2时，写出函数的单调递增区间；（2）求函数在区间上的最小值；（3）设a≠0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围（用a表示）参考答案一、基础自测1.2.3.4.5.6.二、典型例题例1.解：　法一：设f(x)的最小值为g(a)，则只需要g(a)≥0.(1)当－<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤

10、，又a>4，故不存在；(2)当－∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝f＝3－a－≥0，得－6≤a≤2，又－4≤a≤4，故－4≤a≤2；(3)当－>2，即a<－4，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，得a≥－7，又a<－4，故－7≤a<－4.综上所述a的取值范围为[－7,2]．法二：原题可等价转化为x2＋3≥(1－x)a对于任意的x∈[－2,2]恒成立．(1)若1－x＝0即x＝1时，显然成立，此时a∈R.(2)若1－x>0即－2≤x<1，不等式a≤恒成立，设g(x)＝，利用求导的方法得到g(x)min＝2，得到a≤2，(3)若1－x<0即1

11、2，不等式a≥恒成立，设g(x)＝，利用求导的方法得到g(x)max＝－7，得到a≥－7.综上所述a的取值范围为[－7,2]．例2.解：与的图像有交点则例3.解法1：（Ⅰ）令，则由题意可得．故所求实数的取值范围是．（II），令．当时，单调增加，当时，，即．解法2：（I）同解法1．（II），由（I）知，．又于是，即，故．解法3：（I）方程，由韦达定理得，，于是．故所求实数的取值范围是．（II）依题意可设，则由，得，故．例4.解：（1），因为，所以在区间上是增函数，故，解得．（2）由已知可得，所以可化为，化为，令，则，因，故，记，因为，故，所以的取值范

12、围是．（3）原方程可化为，令，则，有两个不同的实数解，，其中，，或，．[来源:Zxxk.Com]记，则①或②解不等组①，得