第6讲幂函数与二次函数

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1、第6讲幂函数与二次函数一、选择题1．已知幂函数y＝f(x)的图像经过点，则f(2)＝(　　)A.　　　　　　　　　　B．4C.D.解析设f(x)＝xα，因为图像过点，代入解析式得：α＝－，∴f(2)＝2－＝.答案C2．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f()的值为(　　)A．－3B．－C．3D.解析设f(x)＝xα，则由＝3，得＝3.∴2α＝3，∴f()＝()α＝＝.答案D3．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为(　　)．A．[2－，2＋]B．(2－，2＋)C．[1,3]D．(1,3)解析　f(a)＝g(b)⇔

2、ea－1＝－b2＋4b－3⇔ea＝－b2＋4b－2成立，故－b2＋4b－2>0，解得2－

3、m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0有两根，即f(x)＝t1或f(x)＝t2.而f(x)＝ax2＋bx＋c的图象关于x＝－对称，因而f(x)＝t1或f(x)＝t2的两根也关于x＝－对称．而选项D中≠.答案　D6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，a为正整数，c≥1，a＋b＋c≥1，方程ax2＋bx＋c＝0有两个小于1的不等正根，则a的最小值是(　　)．A．3B．4C．5D．6解析　由题意得f(0)＝c≥1，f(1)＝a＋b＋c≥1.当a越大，y＝f(x)的开口越小，当a越小，y＝f(x)的开口越大，而y＝f(x)的开口最大时，y＝f(x)过(0,1)，(1,1)，则c＝1

4、，a＋b＋c＝1.a＋b＝0，a＝－b，－＝，又b2－4ac>0，a(a－4)>0，a>4，由于a为正整数，即a的最小值为5.答案　C二、填空题7．对于函数y＝x2，y＝x有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y＝x对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．其中正确的有________．解析从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．答案①②⑤⑥8．若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________．解析　由已知得⇒

5、答案　a>0，ac＝49．方程x2－mx＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m的取值范围是________．解析　∵∴m＝β＋.∵β∈(1,2)且函数m＝β＋在(1,2)上是增函数，∴1＋1＜m＜2＋，即m∈.答案　10．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，则m的取值范围是________．解析　当x<1时，g(x)<0，当x>1时，g(x)>0，当x＝1时，g(x)＝0，m＝0不符合要求；当m>0时，根据函数f(x)和函数g(x

6、)的单调性，一定存在区间[a，＋∞)使f(x)≥0且g(x)≥0，故m>0时不符合第①条的要求；当m<0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f(x)的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f(x)至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f(x)的两个零点是2m，－(m＋3)，故m满足或解第一个不等式组得－4

7、式是幂函数，且经过点.求函数在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表达式．解　设在[－1,1)上，f(x)＝xn，由点在函数图象上，求得n＝3.令x∈[2k－1,2k＋1)，则x－2k∈[－1,1)，∴f(x－2k)＝(x－2k)3.又f(x)周期为2，∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．12．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)[理]当