第5讲二次函数与幂函数

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1、第5讲　二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(

2、2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在上单调递减；在上单调递增在上单调递增；在上单调递减对称性函数的图象关于x＝－对称　　[做一做]1．已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为答案：f(x)＝x－22．已知f(x)＝x2－2mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．答案：(－∞，2]1．辨明两个易误点(1)对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，

3、就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．2．会用两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方

4、程根的大小等．[做一做]3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是解析：选C.由题意知即得a＞.4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为解析：选B.如图，由图象可知m的取值范围是[1，2]．,[学生用书P24～P25])__幂函数的图象及性质________________　(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(2)当0

5、________．[解析]　(1)设幂函数的解析式为y＝xα，∵幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，∴2＝4α，解得α＝.∴y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0g(x)>f(x)．[答案]　(1)C　(2)h(x)>g(x)>f(x)[规律方法]　幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y

6、＝x分区域．根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．　1.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为解析：选B.由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3.当n＝1时，f(x)＝x－2＝在(0，＋∞)上是减函数；当n＝－3时，f(x)＝x18在(0，＋∞)上是增函数．故n＝1符合题意，__

7、求二次函数的解析式____________　已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1.(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式．[解]　(1)由于f(x)有两个零点0和－2，所以可设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，这时f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a.由于f(x)有最小值－1，所以必有，解得a＝1.因此f(x)的解析式是f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x.(2)设点P(x，y)是函数g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点P′(－x，

8、－y)必在f(x)图象上，所以－y＝(－x)2＋2(－x)，即－y＝x2－2x，y＝－x2＋2x，故g(x)＝－x2＋2x.[规律方法]　在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式的表达形式：(1)已知三个点的坐标，应选择一般式；(2)已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式；(3)已知函数图象与x轴的交点坐标，应选择零点式．[注意]　求二次函数的解析式时，如果选用的形式不当、引