2012高考数学热点考点精析导数应用

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1、考点10导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1．（2011·安徽高考文科·Ｔ10）函数在区间上的图象如图所示，则n可能是（　）（A）1（B）2（C）3（D）4[来源:Zxxk.Com]【思路点拨】代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案.【精讲精析】选A.代入验证,当n=1时，，则，由=0可知，，结合图象可知函数应在（0，）递增，在递减，即在处取得最大值，由知存在.2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，，则f（x）＞2x+4的解集为（A）（-1，1）（B）（-

2、1，+）（C）（-，-1）（D）（-，+）【思路点拨】先构造函数，求其导数，将问题转化为求单调性问题即可求解．【精讲精析】选B.构造函数，则，又因为，所以，可知在R上是增函数，所以可化为，即，利用单调性可知，．选B.3．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数在区间上的图象如图所示，则的值可能是（A）(B)(C)(D)【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n的取值.【精讲精析】选B.函数的导数则在上大于0，在上小于0，由图象可知极大值点为，结合选项可得m=1,n=2.二、

3、填空题4.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数在处取得极小值.【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值的时刻.【精讲精析】答案：2由解得或，列表如下：02+-+增极大值减极小值增[来源:学§科§网Z§X§X§K][来源:Zxxk.Com]当时，取得极小值.5．（2011·辽宁高考文科·Ｔ16）已知函数有零点，则的取值范围是【思路点拨】先求，判断的单调性．结合图象找条件．本题只要使的最小值不大于零即可．【精讲精析】选A，=．由得，∴．由得，．∴在处取得最小值．只要即可．∴，∴．∴的取值范围

4、是6.（2011·江苏高考·Ｔ12）在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_________【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t的表达式，然后考虑单调性求解最值。【精讲精析】答案：设则，过点P作的垂线，，所以，t在上单调增，在单调减，。三、解答题7．（2011·安徽高考理科·Ｔ16）设，其中为正实数（Ⅰ）当时，求的极值点；（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围.【思

5、路点拨】（Ⅰ）直接利用导数公式求导，求极值.（Ⅱ）求导之后转化为恒成立问题.【精讲精析】对求导得，（Ⅰ）当令，则.解得，列表得x[来源:学科网]+0-0+↗极大值↘极小值↗所以，是极小值点，是极大值点.（Ⅱ）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合与条件a>0,知在R上恒成立，因此由此并结合a>0,知.8.（2011·福建卷理科·Ｔ18）(本小题满分13分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3

6、1千克.（I）求a的值。（II）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【思路点拨】(1)根据“销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克”可知销售函数过点（5,11）,将其代入可求得的值;（2）利润为y=(每件产品的售价-每件产品的成本)销量,表示出函数解析式后，可借助导数求最值.【精讲精析】（I）因为时，，所以所以.[来源:Zxxk.Com]（II）由（1）可知，该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润40单调递增极大值42单调递减从而于是，当变化时，的变化情况如

7、下表，由上表可得，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点.所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于42.当销售价格为元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.9.（2011·福建卷文科·Ｔ22）已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）.（I）求实数b的值；（II）求函数f（x）的单调区间；（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m

8、和最大的实数M；若不存在，说明理由.【思路点拨】(1);(2)对函数求导得导函数，由导函数得单调区间，必要时分类讨论；（3）列表判断的单调性和极值、最值情况，再结合的草图即可探究出是否存在满足题意的.【精讲精析】(1)由得（2）由（1