导数高考考点精析

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1、导数高考考点精析河北赵春祥导数是新教材增加的内容，近几年的高考试题，与时俱进，逐步加深．有关导数的高考题主要考查导数的几何意义、函数的单调性、极值，应用问题中的最值．由于导数的工具性，好多问题用导数处理显得简捷明了．一、考纲领航定位：1．高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何的应用，主要有以下三个方面：⑴运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．在生产中，常常会遇到要求在一定条件下使得“强度或功率最大”、“用料最省或成本最低”、“效率最高或生产过程最优”等实际问题，这样用数学语言抽象概括，从数学角度的反映实际问题

2、，建立起一个个数学模型，就会转化为函数的最大值与最小值问题．利用函数的导数，可以顺利地解决这些函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．求函数在区间[a，b]上的最大值及最小值，先求出方程=0在区间[a，b]内的解，并计算出相应的函数值，再与区间端点a、b处的函数值比较，即可选出最大值与最小值及相应的x的值．⑵利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率问题也是导数的一个重要应用，并且也是高考考查的重点内容之一．由于函数y=在x=x处的导数，表示曲线在点P(x，)处的切线斜率，因此，曲线y=在点P(x，)处的切线方程的求法是：第一，求出函数y=在x=x处的导数，即曲线在点P(x，

3、)处的切线斜率；第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程：y=y＋·(x－x)．需要说明的是：如果曲线y=在点P(x，)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程就是x=x．⑶运用导数的有关知识，研究函数的单调性是导数的又一重点应用，在高考试卷中，所占的地位是比较重的．求可导函数单调区间的一般步骤和方法：①确定函数的定义区间；②求，令=0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③把函数的间断点(即无定义点)在横坐标上各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断在每个相应小开区

4、间内的增减性．二、经典考题评析导数具有丰富多彩的性质和特性，利用导数研究或处理以前学过的一些问题，既可以加深对导数的理解，又可以使得有些数学问题得到简化．导数又是新教材中的新增内容，它们体现了现代数学思想，是衔接初、高等数学的桥梁．2004年全国高考各个不同省份的试卷在这方面有明显的倾向性，直接考查导数或利用导数解题的内容就占了相当大的成分，这个新增内容已成为高中数学的重点内容与主干知识，也是今后高考考查的热点题型．下面选解评析几例．例1(2004年重庆高考题)设函数，求导数；并证明有两个不同的极值点x、x．解：，令=0得方程，因△=4(a－a＋1)≥4a＞0，故方程有两个不同的实根

5、x、x，不妨设x、x，由=可判断的符号如下：当x＜x时，＜0；当x＜x＜x时，＜0；当x＞x时，＞0，因此是极大值点，是极小值点．评析：极值点是指函数取得极值时对应的点的横坐标，即自变量的取值．利用导数求函数极值时，=0只是在x处有极值的必要条件，要判别x处是否是极值，还要看导数的符号是否相反，如果相反，x处有极值；如果相同，则x处没有极值．例2(2004年广东高考题)设函数=

6、1－

7、，x＞0，点P(x，y)0＜x＜1在曲线y=上，求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x表达)．当0＜x＜1时，y==

8、1－

9、=－1，∴=－，0＜x＜1，曲线y=在点P(x，

10、y)处的切线方程为：y－y=－(x－x)，即y=－＋．∴切线与x轴、y轴正向的交点为(x(2－x)，0)和(0，(2－x))．故所求三角形面积听表达式为：S(x)=x(2－x)·(2－x)=(2－x)．评析：有关曲线切线的问题，一般都可以用导数的几何意义完成．曲线在某一定点的切线是唯一的，若斜率存在的话，其斜率也是唯一的．三、应试对策与考题展望1．函数是高中数学的重点内容，而函数的性质又是高考命题的热点，用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便的多，因此，导数在函数中的应用作为2004年高考命题重点应引起高度注意．考查的方向还是利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间[a，b

11、]上的最大值或最小值，或利用求导法解应用问题，研究函数的单调性或求单调区间等，这些已成为高考的一个新的热点问题．2．利用导数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解析几何综合试题中，同学们复习时要注意到这一点．