2012高考数学知识考点精析21 导数及其应用.doc

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1、第二十一讲导数及其应用1、曲线的切线:设曲线C是函数y=f(x)的图象,在曲线C上取一点,过P,Q两点作割线,当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,即→0时,割线PQ的极限位置PT,直线PT叫做曲线在点P处的切线。设切线PT的倾斜角为割线PQ的斜率的极限就是曲线C在点P处的切线的斜率,即2、瞬时速度:3、导数的概念:4、导函数的概念:如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导,对于开区间(a,b)内的每一个,都对应着一个导数,这样f(x)在开区间(a,b)内构成一个新的函数,这一新的函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数,记作,导函数也简称为导

2、数。5、如果函数f(x)在点处可导,那么函数f(x)在点处连续,反之不一定成立。如:y=连续不可导。6、导数的几何意义:函数f(x)在点处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率,即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率是,相应地切线的方程是57、几种常见函数的导数:(1)、常函数的导数为0,即,(2)、幂函数的导数为,与此有关的如下:(3)、,(4)、(5)、8、导数的运算法则:复合函数的导数:首先要弄清复合函数的复合关系。它的求导法则是:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数,即9、应用

3、导数解有关切线问题:过某点的切线不一定只有一条;如:已知函数过点作曲线的切线,求此切线的方程(答:切点分别为(0,0),(3,18)。或)。解这类题首先要弄清楚已知点是否为切点,如果不是切点,应先设切点为然后写出切线方程:再把已知点代入求出切点。如果已知点是切点,则直线求此点的导数得出直线的斜率。10、应用导数解函数的单调性问题:(1)、若f′(x)>0,则f(x)为增函数,(2)、若f′(x)<0,则f(x)为减函数,(3)、若f′(x)=0恒成立,则f(x)为常数函数,(4)、若f′(x)的符号不确定,则f(x)不量单调函数,(5)、利用

4、导数法来划分函数的单调区间时,单调增区间,Ûf′(x)³0且等号不恒成立。单调减区间,Ûf′(x)£0且等号不恒成立。可利用下列步骤来划分区间:1)求f′(x),2)求方程f′(x)=0的根,设根为,3)将给定区间分成n+1个子区间,再在每一个子区间内判断f′(x)的符号。4)对于方程f′(x)=0无意义的点也要考虑。应用单调性求参数的取值范围时,注意f/(x)=0的点;如:设函数在上单调函数,则实数的取值范围______(答:);11、应用导数解函数的极值问题:(1)、设函数f(x)在点x附近有定义,如果对x5附近所有的点,都有f(x)<f

5、(x),就说是f(x)函数f(x)的一个极大值。记作=f(x),如果对x附近所有的点,都有f(x)>f(x),就说是f(x)函数f(x)的一个极小值。记作=f(x),极大值和极小值统称为极值。(2)、当函数f(x)在点x处连续时,(1)如果在点x附近左侧>0,右侧<0,则f(x)是极大值,x是极大值点。(2)如果在点x附近左侧<0,右侧>0,则f(x)是极小值,x是极小值点。(3)x是极值点的充要条件是x点两侧导数异号,而不仅是=0,=0是x为极值点的既不必要而不充分条件。如但对可导函数=0是x为极值点的必要而不充分条件。12、应用导数解函数

6、的最大值和最小值问题:求极值、最值步骤:求导数;求的根;检验在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值.如:(1)函数在[0,3]上的最大值、最小值分别是______(答:5;);(2)已知函数在区间[-1,2]上是减函数,那么b+c有最__值__答:大,)(3)方程的实根的个数为__(答:1)特别提醒:(1)是极值点的充要条件是点两侧导数异号,而不仅是=0,=0是为极值点的必要而不充分条件。(2)给出函数极大(小)值的条件,一定

7、要既考虑,又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条件没有用完,这一点一定要切记!如:函数处有极小值10,则a+b的值为____(答:-7)13、定积分:(1).直线和直线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。(2). 定积分概念:设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0

8、b]上的定积分。记作:,即=(ξi)△x。这里,a与b分别叫做定积分的下限与上限。区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx

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