2012高考数学知识考点精析21 导数及其应用.doc

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1、第二十一讲导数及其应用1、曲线的切线：设曲线C是函数y=f（x）的图象，在曲线C上取一点，过P，Q两点作割线，当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，即→0时，割线PQ的极限位置PT，直线PT叫做曲线在点P处的切线。设切线PT的倾斜角为割线PQ的斜率的极限就是曲线C在点P处的切线的斜率，即2、瞬时速度：3、导数的概念：4、导函数的概念：如果函数f（x）在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个，都对应着一个导数，这样f（x）在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做f（x）在开区间（a,b）内的导函数，记作，导函数也简称为导

2、数。5、如果函数f（x）在点处可导，那么函数f（x）在点处连续，反之不一定成立。如:y=连续不可导。6、导数的几何意义：函数f（x）在点处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点处的切线的斜率，即曲线y=f（x）在点处的切线的斜率是，相应地切线的方程是57、几种常见函数的导数：(1)、常函数的导数为0，即，(2)、幂函数的导数为，与此有关的如下：(3)、，(4)、(5)、8、导数的运算法则：复合函数的导数：首先要弄清复合函数的复合关系。它的求导法则是：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，即9、应用

3、导数解有关切线问题：过某点的切线不一定只有一条;如：已知函数过点作曲线的切线，求此切线的方程（答：切点分别为（0,0），（3,18）。或）。解这类题首先要弄清楚已知点是否为切点，如果不是切点，应先设切点为然后写出切线方程：再把已知点代入求出切点。如果已知点是切点，则直线求此点的导数得出直线的斜率。10、应用导数解函数的单调性问题：(1)、若f′（x）＞0,则f（x）为增函数,(2)、若f′（x）＜0,则f（x）为减函数,(3)、若f′（x）＝0恒成立,则f（x）为常数函数,(4)、若f′（x）的符号不确定,则f（x）不量单调函数,(5)、利用

4、导数法来划分函数的单调区间时，单调增区间，Ûf′（x）³0且等号不恒成立。单调减区间，Ûf′（x）£0且等号不恒成立。可利用下列步骤来划分区间：1）求f′（x），2）求方程f′（x）＝0的根，设根为，3）将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断f′（x）的符号。4）对于方程f′（x）＝0无意义的点也要考虑。应用单调性求参数的取值范围时，注意f/(x)=0的点;如：设函数在上单调函数，则实数的取值范围______（答：）；11、应用导数解函数的极值问题：(1)、设函数f（x）在点x附近有定义，如果对x5附近所有的点，都有f（x）＜f

5、（x），就说是f（x）函数f（x）的一个极大值。记作＝f（x），如果对x附近所有的点，都有f（x）＞f（x），就说是f（x）函数f（x）的一个极小值。记作＝f（x），极大值和极小值统称为极值。(2)、当函数f（x）在点x处连续时，（1）如果在点x附近左侧＞0，右侧＜0，则f（x）是极大值，x是极大值点。（2）如果在点x附近左侧＜0，右侧＞0，则f（x）是极小值，x是极小值点。（3）x是极值点的充要条件是x点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是x为极值点的既不必要而不充分条件。如但对可导函数＝0是x为极值点的必要而不充分条件。12、应用导数解函数

6、的最大值和最小值问题：求极值、最值步骤:求导数;求的根;检验在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值.如：（1）函数在[0，3]上的最大值、最小值分别是______（答：5；）；（2）已知函数在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c有最__值__答：大，）（3）方程的实根的个数为__（答：1）特别提醒：（1）是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定

7、要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数处有极小值10，则a+b的值为____（答：－7）13、定积分：（1）.直线和直线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。（2）.　定积分概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

8、b]上的定积分。记作：，即＝(ξi)△x。这里，a与b分别叫做定积分的下限与上限。区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx