)试题分类汇编三、导数及其应用1(选修2-2)

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1、三、导数及其应用（选修2-2）1.（2012年海淀二模理13）某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则.请你参考这些信息，推知函数的图象的对称轴是；函数的零点的个数是.答案：；2。2.（2012年西城二模理19）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．解：（Ⅰ）当时，，．………………2分由，得曲线在原点处的切线方程是．…………3分（Ⅱ）．………………4分①当时，．所以在单调递增，在单调递减．……5分当，．②当时，令，得，，与的情况如下：↘↗↘故的单调减区间是，

2、；单调增区间是．………7分③当时，与的情况如下：↗↘↗所以的单调增区间是，；单调减区间是…9分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，时不合题意．……10分当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．设为的零点，易知，且．从而时，；时，．若在上存在最小值，必有，解得．所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．………………12分当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．若在上存在最大值，必有，解得，或．所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．综上，的取值范围是．………………14分3.（2012年朝阳二模理18）已知函数．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实

3、数的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，记函数的最小值为，求证：．解：（I）的定义域为..根据题意，有，所以，解得或.…3分（II）.（1）当时，因为，由得，解得；由得，解得.所以函数在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，因为，由得，解得；由得，解得.所以函数在上单调递减，在上单调递增.…9分（III）由（Ⅱ）知，当时，函数的最小值为，且.，令，得.[当变化时，，的变化情况如下表：＋0－极大值是在上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是的最大值点.所以.所以，当时，成立.…14分4.（2012年丰台二模理20）设函数．（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）证明：对x1，x2∈R+，都有；

4、（Ⅲ）若，证明：．解：（Ⅰ）时，，()，则．令，得．当时，，在是减函数，当时，，在是增函数，所以在时取得最小值，即．……4分（Ⅱ）因为，所以．所以当时，函数有最小值．x1，x2∈R+，不妨设，则．………………8分（Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当时，由（Ⅱ）知命题成立．ⅱ）假设当(k∈N*)时命题成立，即若，则．当时，，，…，，满足．设，由（Ⅱ）得==．由假设可得，命题成立．所以当时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n∈N*，命题都成立，所以若，则．……13分（证法二）若，那么由（Ⅱ）可得．5.（2012年昌平二模理18）已知函数R.（Ⅰ）当时，求的单调区间;（Ⅱ）若在上的最小值为，

5、求的值.解：（Ⅰ）f(x)的定义域为｛x

6、｝……………1分.……3分令，即，∴的增区间为（0，1），……4分令，即，∴的减区间为…………5分（Ⅱ）①当时，在上恒成立，在恒为增函数.……6分，得……7分②当时，令，得.当时，在上为减函数；当时，在上为增函数；，得（舍）……10分③当时，在上恒成立，此时在恒为减函数.，得……12分综上可知…13分6.（2012年东城二模理19）已知函数（）．（Ⅰ）试讨论在区间上的单调性；（Ⅱ）当时，曲线上总存在相异两点，，使得曲线在点，处的切线互相平行，求证：.解：（Ⅰ）由已知，.由，得，.……4分因为，所以,且．所以在区间上，；在区间上，.故在上单调递减，

7、在上单调递增．…6分证明：（Ⅱ）由题意可得，当时，（，且）.即，所以，.………8分因为，且，所以恒成立，所以，又，所以，整理得.……11分令，因为，所以在上单调递减，所以在上的最大值为，所以.…13分7.（2012年海淀二模理19）已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，求证：函数只有一个零点，且；（Ⅲ）当时，记函数的零点为，若对任意且都有成立，求实数的最大值.（本题可参考数据：）解：（Ⅰ）的定义域为..…………………1分令，或.当时，，函数与随的变化情况如下表：00极小值极大值所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.……3分当时，.所以，函数的单调递减区间是.4分当时，，函数与随

8、的变化情况如下表：000极小值极大值所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.…5分（Ⅱ）证明：当时，由（Ⅰ）知，的极小值为，极大值为.因为，，且在上是减函数，所以至多有一个零点.…………7分又因为，所以函数只有一个零点，且.……9分解：（Ⅲ）因为，所以对任意且由(Ⅱ)可知：，，且.………10分因为函数在上是增函数，在上是减函数，所以，.……………11分所以.当时，=>0.所以.…………13分所以的最小值为.所以使得恒成立的的最