三、导数及其应用1(选修2-2)

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1、三、导数及其应用（选修2-2）2010年高考数学试题分类汇编——导数1.（2010全国卷2理数10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则(A)A.64B.32C.16D.8【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..【解析】，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得.2.（2010辽宁文数12）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是(D)A.[0,)B.C.D.解析：选D.，，即，3.（2010辽宁理数10）已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a

2、的取值范围是(D)A.[0,)B.C.D.【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。【解析】因为，即tana≥-1,所以4.（2010全国卷2文数7）若曲线在点处的切线方程是，则(A)30A.B.C.D.【解析】本题考查了导数的几何意义及过曲线上一点处的切线方程的求法.∵，∴，在切线，∴5.（2010江西理数12）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为（A）【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最

3、后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。6.设R，函数(Ⅰ)当a=2时，试确定函数的单调区间；(Ⅱ)若对任何R，且，都有，求a的取值范围.（Ⅰ）解：当时，，因为，所以在上为增函数；当时，，，由，解得，由，解得，所以在上为增函数，在上为减函数.综上，增区间为和，减区间为.30（Ⅱ）解：当时，由，得，即，设，所以（当且仅当时取等号），所以当时，有最大值，因为对任何，不等式恒成立，所以；当时，由，得，即，设，则，所以当，即时，有最小

4、值，因为对任何，不等式恒成立，所以.综上，实数的取值范围为.7.（2010浙江理数22）已知是给定的实常数，设函数，，是的一个极大值点．(Ⅰ)求的取值范围；(Ⅱ)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。（Ⅰ）解：f’(x)=ex(x-a)令于是，假设30（1）当x1=a或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。（2）当x1a且x2a时，

5、由于x=a是f(x)的极大值点，故x1

6、估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.9.（2010陕西文数21）已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR。（1）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；（2）设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；（3）对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时，（a）1.30解：（1）f’(x)=,g’(x)=(x>0),由已知得=alnx，=，解德a=,x=e2,两条曲线交点

7、的坐标为（e2,e）切线的斜率为k=f’(e2)=,切线的方程为y-e=(x-e2).（2）由条件知Ⅰ当a.>0时，令h(x)=0,解得x=,所以当0时，h(x)>0，h(x)在（0，）上递增。所以x>是h(x)在（0，+∞）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。所以Φ （a）=h()=2a-aln=2Ⅱ当a  ≤   0时，h(x)=(1/2-2a)/2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。故h(x)的最小值Φ （a）的解析式为2a(1-ln2a)(a>o