选修2-2 导数及其应用 典型例题

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1、.第一章导数及其应用1.1变化率与导数【知识点归纳】1.平均变化率：2.瞬时速度：3.导数及导函数的概念：4.导数的几何意义：拓展知识：5.平均变化率的几何意义：6.导数与切线的关系：【典型例题】题型一求平均变化率：例1.已知函数的图像上一点（1,1）及其邻近一点，则=_______.变式训练：1.以速度竖直向上抛出一物体，t秒时的高度为，求物体在到这段时间的平均速度.2.求正弦函数在和附近的平均变化率，并比较他们的大小....题型二实际问题中的瞬时速度例2已知质点M按规律做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）（1）当时，求；（2）当时，求；（3）求质点M在

2、t=2时的瞬时速度.题型三求函数的导数及导函数的值例3求函数在处的导数.题型四曲线的切线问题例4（1）已知曲线上一点A（1，2），求点A处的切线方程.（2）求过点（-1，-2）且与曲线想切的直线方程.（3）求曲线在x=1处的切线的倾斜角.（4）曲线在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标....1.2导数的计算【知识点归纳】1.常见函数的导数：2.基本初等函数的导数公式：3.导数的运算法则：4.复合函数的导数：【典型例题】题型一基本初等函数导数公式运用例1给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④.若，则其中正确的是_________________.题型二导数运算法

3、则的应用例2求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）.变式训练：判断下面的求导是否正确，如果不正确，加以改正....题型三复合函数求导的应用例7求下列函数的导数.（1）；（2）.变式训练：求函数的导数题型四切线方程及应用例4曲线在点（0，1）处的切线方程是？变式训练：曲线在P处的切线平行于直线，则点P的坐标为_________.题型五利用导数求参数问题例5若曲线在坐标原点处的切线方程是，则实数a=_________变式训练：若函数在x=a处的导数值为函数值互为相反数，求a的值...题型六对数求导数的应用（选讲）例6求下列函数的导数（1）；（2）；题型七求

4、导数的实际应用例7有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s（单位：m）关于时间t（单位s）的函数为.求函数在时的导数，并解释它的实际意义....1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数【知识点归纳】1.函数的单调性与其导数的关系：2.利用导数求函数的单调区间：3.导数的绝对值的大小与图像的关系（选讲）：【典型例题】题型一里用导数的信息确定函数大致图像例1已知导函数的下列信息：当时，；当或时，；当或时，；试画出函数f（x）图像的大致形状.题型二判断或者证明函数的单调性例2试判断函数在其定义域上的单调性.变式训练：证明：函数在区间（0，2

5、）上是单调递增函数....题型三求函数的单调性例3确定函数的单调区间.变式训练：求函数的单调性.题型四含有参数的函数的单调性例4已知函数，讨论f（x）的单调性.变式训练：已知函数在内单调递增，求实数a的取值范围....1.3.2导数的极值与导数【知识点归纳】1.导数的极值的概念：2.导数的极值的判断和求法：【典型例题】题型一求函数的极值例1求下列函数的极值：（1）；（2）.变式训练：设的导数满足，其中常数.（1）求曲线在点处的切线方程.（2）设，求函数的极值....题型二判断函数极值点的情况例2判断下列函数有无极值，若有极值，请求出极值；如果没有极值，请说明理由

6、.（1）；（2）；（3）.变式训练：设函数，其中.证明：当时，函数f（x）没有极值点，当时,函数f（x）有且只有一个极值点，并求出极值.题型三导函数的图像与函数极值的关系例3函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（　　）A1个B.2个C.3个D.4个...题型四极值的逆向问题例4已知函数在x=1处取得极值-3-c，其中a，b为常数.（1）试确定a，b的值.（2）讨论函数f（x）的单调区间.综上：若说明函数没有极值，一般不讨论有无导数，而是在区间上只有一个单调性，没

7、有“拐点”....1.3.3函数的最大小值与导数【知识点归纳】1.最大小值与极值的关系：2.求最大小值的步骤：3.开区间的最值问题：【典型例题】题型一利用导数求函数最值问题例1求函数在区间上的最大值和最小值.变式训练：设函数为奇函数，其图像在处的切线与直线垂直，导数的最小值为-12.（1）求a，b，c的值.（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1,3]上的最大小值....题型二含参数最值问题例2设a为常数，求函数的最大值.变式训练：1.设（1）若f（x）在上存在单调递增区间，求a的取值范围.（2）当时,f（x）在[1,4]上的最小值为，求f（

8、x）在该区间上的最大值.