—导数及其应用典型例题.doc

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1、导数及其应用典型例题讲解一、导数的定义：　例1、设函数在点处可导，且，试求　　（1）；　　（2）；　　（3）；　　（4）已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：；　　解：注意到　　　　当）　　（1）；　　（2）　　　　=A+A=2A　　（3）令，则当时，　　∴　　　　　　　　（4）例2、求下列函数的导数　　（1）；　　　　　　　　（2）；　　（3）；　　　　　　　　（4）；　　（5）；　　　　　　　　　（6）　　解：　　（1）　　　　　　（2），　　∴　　（3），　　∴　　（4），　　∴　　（5），　　∴　　（6）　　∴当

2、时，；　　∴当时，　　∴　　　　　　　　　　即。　　利用导数证明不等式例6．求证下列不等式（1）（相减）（2）（相除）证：（1）∴为上∴恒成立∴∴在上∴恒成立（2）原式令∴∴∴设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为()A．　　　B．　　　C．　　　　D．答案A函数的单调性2已知函数的图象在点处的切线方程为。　　（Ⅰ）求函数的解析式；　　（Ⅱ）求函数的单调区间。　　解析：　　（1）由在切线上，求得，再由在函数图象上和得两个关于的方程。　　（2）令，求出极值点，求增区间，求减区间。　答案　　（Ⅰ）由函数的图象在点处的切线方程为

3、知：　　，即，　　　　∴　　即　　解得　　　　所以所求函数解析式　　（Ⅱ）　　令解得　　当或时，　　当时，　　所以在内是减函数，在内是增函数。2、已知函数．（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．解析（Ⅰ）由题意得又，解得，或（Ⅱ）函数在区间不单调，等价于导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有，即：整理得：，解得　4、　已知函数，求的单调区间和值域；　解：　　（Ⅰ）由得或。　　∵　　∴（舍去）　　则，，变化情况表为：01　　—0

4、+　　↘↗　　因而当时为减函数；当时为增函数；　　当时，的值域为；　　3、设a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x>0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2alnx＋1.（Ⅰ）解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．（Ⅱ）证明：由知，的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．(利用单调性证明不等式）故当时，恒有．函数的极值问题例7、已知

5、函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4.　　（1）求常数的值；　　（2）求的极值。　　解：　　（1），　　令得方程　　∵在处取得极值　　∴或为上述方程的根，　　故有　　∴，即　　　　①　　∴　　　　　　又∵仅当时取得极值，　　∴方程的根只有或，　　∴方程无实根，　　∴即　　而当时，恒成立，　　∴的正负情况只取决于的取值情况　　当x变化时，与的变化情况如下表：1(1，+∞)+0—0+极大值极小值　　∴在处取得极大值，在处取得极小值。　　由题意得　　整理得　　　　　　②　　于是将①，②联立，解得　　（2）由（1）知，　　3已知是函数

6、的一个极值点，其中　　（Ⅰ）求与的关系表达式；　　（Ⅱ）求的单调区间；　　（Ⅲ）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求的取值范围。　　解析：　　解答：　　（Ⅰ），是函数的一个极值点　　∴　　∴；　　（Ⅱ）　　令，得　　　　与的变化如下表：1—0+0—　　单调递减极小值单调递增极大值单调递减　　因此，的单调递减区间是和；的单调递增区间是；　　（Ⅲ）由（Ⅱ）　　即　　令，　　且，　　　　即m的取值范围是。函数的最值问题例8、（1）已知的最大值为3，最小值为-29，求的值；（2）设，函数的最大值为1，最小值为，求常数的值。　　解：　　

7、（1）这里，不然与题设矛盾　　　　令，解得或x=4（舍去）　　（Ⅰ）若，则当时，，在内递增；　　当时，，在内递减　　又连续，故当时，取得最大值　　∴由已知得　　而　　∴此时的最小值为　　∴由得　　（Ⅱ）若，则运用类似的方法可得当时有最小值，故有；　　又　　∴当时，有最大值，　　∴由已知得　　于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求或　　（2），　　令得　　解得　　　当在上变化时，与的变化情况如下表：-1(-1,0)01　　+0—0+　　极大值极小值　　　∴当时，取得极大值；当时，取得极小值。　　由上述表格中展示的的单调性知　　∴最大值在与之中，的最小值在

8、和之中，　　考察差式，　　即，　　故的最大值为　　由此得　　考察差式　　　　，即，　　∴的最小值为　　由此得，解得　　于是综合以上所述得到所求。　　已知函数f(x)=ln(1+x