高中数学典型例题解析导数及其应用

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1、高中数学典型例题分析第十章导数及其应用§10.1导数及其运算一、知识导学1.瞬时变化率：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应地改变，如果当趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数在点的瞬时变化率。2.导数：当趋近于零时，趋近于常数c。可用符号“”记作：当时，或记作，符号“”读作“趋近于”。函数在的瞬时变化率，通常称作在处的导数，并记作。3.导函数：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导。这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数。于是，在区间内，构

2、成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数。记为或（或）。4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。2）函数积的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。3）函数的商的求导法则：设，是可导的，，则5.复合函数的导数:设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点处有导数,且.6.几种常见函数的导数：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)二、疑难知识导析1.导数的实质是函数值

3、相对于自变量的变化率2.运用复合函数的求导法则,应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.(2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如实际上应是。(3)求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如选成，计算起来就复杂了。3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。4.表示处的导数，即是函数在某一点的导数；表示函

4、数在某给定区间内的导函数，此时是在上的函数，即是在内任一点的导数。5.导数与连续的关系若函数在处可导，则此函数在点处连续，但逆命题不成立，即函数在点处连续，未必在点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。6.可以利用导数求曲线的切线方程由于函数在处的导数，表示曲线在点处切线的斜率，因此，曲线在点处的切线方程可如下求得：（1）求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：，如果曲线在点的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为.三、经典例题导讲[例1]已知,则.[例2]已

5、知函数判断f(x)在x=1处是否可导？分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导.左右极限是否存在且相等。点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.[例3]求在点和处的切线方程。分析：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．点评：要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求

6、；不是则需设出切点坐标．[例4]求证：函数图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程.分析：由导数的几何意义知，要证函数的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解.[例5]（02年高考试题）已知，函数，，设，记曲线在点处的切线为.（1）求的方程；（2）设与轴交点为，求证：①；　　　　　②若，则分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程.[例6]求抛物线上的点到直线的最短距离.分析：可设为抛物线上任意一点，则可把点到直线的距离表示为自变量的函数，然后求函数最小值即可，另外

7、，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线的距离即为本题所求.四、典型习题导练1.函数在处不可导，则过点处，曲线的切线（D）A．必不存在　B．必定存在C．必与x轴垂直　D．不同于上面结论2.在点x=3处的导数是__-1/6__________.3.已知，若，则的值为____________.4.已知P（－1，1），Q（2，4）是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是_____________.5.如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程.6．若过两抛物线和的一个交点为P的两条切线互相垂直.求证：抛物