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《高中数学典型例题解析导数及其应用(20190419220408)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、-三、经典例题导讲[例1]已知y(1cos2x)2,则y.错因：复合函数求导数计算不熟练,其2x与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:y2sin2x(1cos2x).正解：设yu2,u1cos2x,则yxyuux2u(1cos2x)2u(sin2x)(2x)2u(sin2x)24sin2x(1cos2x)y4sin2x(1cos2x).1(x21)(x1)[例2]已知函数f(x)2判断f(x)在x=1处是否可导？1(x1)(x1)21[(1x)21]1(121)错解：lim2x21,
2、f(1)1。x0分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导.y1[(1x)21]1(121)解：limlim2x21x0xx0∴f(x)在x=1处不可导.注：x0，指x逐渐减小趋近于0；x0，指0x逐渐增大趋近于。点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即limf(x0x)f(x0)，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，x0x在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.[例3]求y2x23
3、在点P(1,5)和Q(2,9)处的切线方程。错因：直接将P，Q看作曲线上的点用导数求解。分析：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是y在x处的函数值；1点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．解：223,4.4yxyxyx1即过点P的切线的斜率为4，故切线为：y4x1．设过点Q的切线的切点为T(x0,y0)，则切线的斜率为4x0，又kPQy09，x02----2故2x064x0，2x028x060.x01,3。x02即切线QT的斜率为4或12，从而过点Q的切线为：y4
4、x1,y12x15点评：要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．[例4]求证：函数yx11，并求出其斜率为0的切线方程.图象上的各点处切线的斜率小于x分析：由导数的几何意义知，要证函数yx11，只要证它的导函数的函数值的图象上各点处切线的斜率都小于x都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解.解：（1）yx1,y111，即对函数yx1定义域内的任一x，其导数值都小于1，于是由导数的几xx2x何意义可知，函数yx11.图象上各点处切线的斜率都小于x（2）令11
5、0，得x1，当x1时，y112；当x1时，y2，x21曲线yx1的斜率为0的切线有两条，其切点分别为(1,2)与(1,2)，切线方程分别为y2或y2。x点评：在已知曲线yf(x)切线斜率为k的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是yf(x)的导数值为k时的解，即方程f(x)k的解，将方程f(x)k的解代入yf(x)就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程f(x)k有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条.[例5]已知a0，函数f(x)x3a，x0,，设x10，记曲
6、线yf(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l.（1）求l的方程；（2）设l与x轴交点为(x2,0)，求证：111①x2a3；②若x1a3，则a3x2x1分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程.解：（1）f/(x)limy(xx)3ax3axlimxx0x0lim3x2x3x(x)2(x)3xx0lim[3x23xx(x)2]3x2x0----f(x1)3x12切线l的方程为yf(x1)f(x1)(xx1)----即y(x13a)3x12(xx1).（2）①依题意，切线方程中令y
7、=0得，x3ax3a②由①知11x2x12，x2x13x23x11[例6]求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离.分析：可设P(x,x2)为抛物线上任意一点，则可把点P到直线的距离表示为自变量x的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线xy20的距离即为本题所求.解：根据题意可知，与直线x－y－2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x－y－2=0的距离最短，设切点坐标为（），那么y'
8、xx02x
9、xx02x01,∴x01211
10、112
11、
12、2∴切点坐标为247(,)，切点到直线x－y－2=0的距离d28，24∴抛物线上的点到直线的最短距离为72.8三、经典例题导讲[例1]已知曲线S:y2x3x24x及点P(0,0)，求过点P的曲线S的切线方程.3错解：y2x2x4，过点P的切线斜率ky4，过点P的曲线S的切线方程为y4x.x02错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点P凑巧在曲线S上，求过点
