高中数学典型例题解析导数及其应用(20190419220408)

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1、-三、经典例题导讲[例1]已知y(1cos2x)2,则y.错因:复合函数求导数计算不熟练,其2x与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:y2sin2x(1cos2x).正解:设yu2,u1cos2x,则yxyuux2u(1cos2x)2u(sin2x)(2x)2u(sin2x)24sin2x(1cos2x)y4sin2x(1cos2x).1(x21)(x1)[例2]已知函数f(x)2判断f(x)在x=1处是否可导?1(x1)(x1)21[(1x)21]1(121)错解:lim2x21,

2、f(1)1。x0分析:分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断是否可导.y1[(1x)21]1(121)解:limlim2x21x0xx0∴f(x)在x=1处不可导.注:x0,指x逐渐减小趋近于0;x0,指0x逐渐增大趋近于。点评:函数在某一点的导数,是一个极限值,即limf(x0x)f(x0),△x→0,包括△x→0+,与△x→0-,因此,x0x在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时,要验证其左、右极限是否存在且相等,如果都存在且相等,才能判定这点存在导数,否则不存在导数.[例3]求y2x23

3、在点P(1,5)和Q(2,9)处的切线方程。错因:直接将P,Q看作曲线上的点用导数求解。分析:点P在函数的曲线上,因此过点P的切线的斜率就是y在x处的函数值;1点Q不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线.解:223,4.4yxyxyx1即过点P的切线的斜率为4,故切线为:y4x1.设过点Q的切线的切点为T(x0,y0),则切线的斜率为4x0,又kPQy09,x02----2故2x064x0,2x028x060.x01,3。x02即切线QT的斜率为4或12,从而过点Q的切线为:y4

4、x1,y12x15点评:要注意所给的点是否是切点.若是,可以直接采用求导数的方法求;不是则需设出切点坐标.[例4]求证:函数yx11,并求出其斜率为0的切线方程.图象上的各点处切线的斜率小于x分析:由导数的几何意义知,要证函数yx11,只要证它的导函数的函数值的图象上各点处切线的斜率都小于x都小于1,因此,应先对函数求导后,再进行论证与求解.解:(1)yx1,y111,即对函数yx1定义域内的任一x,其导数值都小于1,于是由导数的几xx2x何意义可知,函数yx11.图象上各点处切线的斜率都小于x(2)令11

5、0,得x1,当x1时,y112;当x1时,y2,x21曲线yx1的斜率为0的切线有两条,其切点分别为(1,2)与(1,2),切线方程分别为y2或y2。x点评:在已知曲线yf(x)切线斜率为k的情况下,要求其切线方程,需要求出切点,而切点的横坐标就是yf(x)的导数值为k时的解,即方程f(x)k的解,将方程f(x)k的解代入yf(x)就可得切点的纵坐标,求出了切点坐标即可写出切线方程,要注意的是方程f(x)k有多少个相异实根,则所求的切线就有多少条.[例5]已知a0,函数f(x)x3a,x0,,设x10,记曲

6、线yf(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l.(1)求l的方程;(2)设l与x轴交点为(x2,0),求证:111①x2a3;②若x1a3,则a3x2x1分析:本题考查导数的几何意义,利用其求出切线斜率,导出切线方程.解:(1)f/(x)limy(xx)3ax3axlimxx0x0lim3x2x3x(x)2(x)3xx0lim[3x23xx(x)2]3x2x0----f(x1)3x12切线l的方程为yf(x1)f(x1)(xx1)----即y(x13a)3x12(xx1).(2)①依题意,切线方程中令y

7、=0得,x3ax3a②由①知11x2x12,x2x13x23x11[例6]求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离.分析:可设P(x,x2)为抛物线上任意一点,则可把点P到直线的距离表示为自变量x的函数,然后求函数最小值即可,另外,也可把直线向靠近抛物线方向平移,当直线与抛物线相切时的切点到直线xy20的距离即为本题所求.解:根据题意可知,与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短,设切点坐标为(),那么y'

8、xx02x

9、xx02x01,∴x01211

10、112

11、

12、2∴切点坐标为247(,),切点到直线x-y-2=0的距离d28,24∴抛物线上的点到直线的最短距离为72.8三、经典例题导讲[例1]已知曲线S:y2x3x24x及点P(0,0),求过点P的曲线S的切线方程.3错解:y2x2x4,过点P的切线斜率ky4,过点P的曲线S的切线方程为y4x.x02错因:曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值,这是导数的几何意义.在此题中,点P凑巧在曲线S上,求过点

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