导数及其应用(理)

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1、第四讲导数及其应用（理）★★★高考在考什么【考题回放】1．（福建）已知对任意实数，有，且时，，则时（B）A．B．C．D．2．（海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（D）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3．（江西）设在内单调递增，，则是的（　B　）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件4．（浙江）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（D）5．（广东）函数的单调递增区间是＿＿＿＿．6．若直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线，则a=；★★★高考要考什么1．导数的定义：2．导数的

2、几何意义：（1）函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率；（2）函数在点处的导数，就是物体的运动方程在时刻时的瞬时速度；3．要熟记求导公式、导数的运算法则、复合函数的导数等。尤其注意：和。4．求函数单调区间的步骤：1）、确定f(x)的定义域，2）、求导数y′，3）、令y′>0(y′<0),解出相应的x的范围。当y′>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y′<0时，f(x)在相应区间上是减函数5．求极值常按如下步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程=0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法,检查在可能极值点的

3、左右两侧的符号，确定极值点。6．设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：(1)求f(x)在(a,b)内的极值，(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。7．最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。★★★突破重难点【范例1】已知函数在处取得极值.（1）讨论和是函数f(x)的极大值还是极小值；（2）过点作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.（1）解：，依题意，，即解得.∴.令，得.若，则，故f(x

4、)在上是增函数，f(x)在上是增函数.若，则，故f(x)在上是减函数.所以，是极大值；是极小值.（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.设切点为，则点M的坐标满足.因，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有化简得，解得.所以，切点为，切线方程为.【点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.【范例2】（安徽理）设a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x>0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2alnx＋1.解：（Ⅰ）

5、根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．（Ⅱ）证明：由知，的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．故当时，恒有．【点晴】本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．【范例2】（湖北理）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）．解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．，，由题意，．即由

6、得：，或（舍去）．即有．令，则．于是当，即时，；当，即时，．故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为．（Ⅱ）设，则．故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是．故当时，有，即当时，．【点晴】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．变式：已知函数.（1）求函数y=f(x)的反函数的导数（2）假设对任意成立，求实数m的取值范围.解：（1）；（2）令：所以都是增函数.因此当时，的最大值为的最小值为而不等式②成立当且仅当即，于是得解法二：由得设于是原不等式对于恒成立等价于③…7分由，注意到故有，从而可

7、均在上单调递增，因此不等式③成立当且仅当即【点晴】求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.