勾股定理的证明和应用

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1、第3章勾股定理知识结构：勾股定理1.勾股定理（1）直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方（2）勾股定理的验证-------用拼图法,借助面积不变的关系来证明（3）应用1.在直角三角形中已知两边求第三边2.在直角三角形中已知两边求第三边上的高2.勾股定理的逆定理（1）如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形（2）勾股数1.满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为勾股数2.常见的勾股数（1）3,4,5（2）5,12,13（3）8,15,173.应用（1）勾股定理的简单应用求几何体表面上两点间的最短距离解决实际应用问题（2）勾股定理逆

2、定理的应用---------判定某个三角形是否为直角三角形3.1勾股定理一、求网格中图形的面积求网格中图形的面积，通常用两种方法：“割”或“补”。二、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。拓展延伸：（1）勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系，所以必须注意“在直角三角形中”这一前提。（2）勾股定理主要用于求线段的长度，因此，遇到求线段的长度问题时，首先想到的是把所求线段转化为某一直角三角形的边，然后利用勾股定理求解。三、勾股定理的验证运用拼图的方式，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理。3.2勾股定理的逆定理一、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长

3、分别为a,b,c且a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。注意：（1）还没确定一个三角形是否为直角三角形时，不能说“斜边”“直角边”。（2）不是所有的c都是斜边，要根据题意具体分析。当满足a2+b2=c2时，c是斜边，它所对的角是直角。勾股定理与勾股定理的逆定理之间既有区别，又有联系，如下表所示：勾股定理勾股定理的逆定理条件在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边在△ABC中，a2+b2=c2，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边结论a2+b2=c2∠C=90°区别勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到“这个三角形的三边

4、满足a2+b2=c2”，即由“形”到“数”勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”联系都与“一个三角形的三边关系a2+b2=c2”及“直角三角形”有关二、勾股数满足关系a2+b2=c2的3个正整数a，b，c称为勾股数。详解：（1）如：32+42=52，所以3,4,5是一组勾股数，常见的勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10等。（2）勾股数必须是正整数。（3）一组勾股数中各数的相同的正整数倍也是一组新的勾股数。（4）记住常用的勾股数可以提高做题速度。3.3勾股定理的简单应用一、勾股定理

5、的应用运用勾股定理可以解决生活中的一些实际问题。在应用勾股定理解决实际问题时，应先构造出直角三角形，然后把直角三角形的某两条边表示出来。注意：应用勾股定理解决实际问题时，先弄清直角三角形中哪边是斜边，哪两条边是直角边，以便进行计算或推理。对于实际问题，应从中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构造出直角三角形，以便正确运用勾股定理。二、勾股定理的逆定理的应用在日常生活中，经常遇到要求一些不规则图形的面积问题。解决这样的问题常常需要借助辅助线将其转化成三角形的相关问题。有时图形中并没有明显地给出直角三角形，但是其中一些已知的边长满足直角三角形的条件，所以可考虑利用勾股定理的逆定理

6、解决。【勾股定理的证明】例1如图，是用硬纸版作成的两个小直角三角形和一个大直角三角形，两个小直角三角形直角边长分别为a和b，斜边为c，大直角三角形直角边都为c，请你动动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。(1)画出所拼图形的示意图，说出图形的名称。(2)用这个图形证明勾股定理。例2数学实验室：实验材料：硬纸板、剪刀、三角板实验方法：剪裁、拼图、探索实验目的：验证勾股定理，拼图填空。操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①。(1)拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②、图③的形状，观察图②、图③可发现，图②中两个小正方形的面积之和图③中

7、小正方形的面积(填“大于”“小于”“等于”)，用关系式可表示为；(2)拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有3个正方形，它们的面积按大小顺序分别记为S大、S中、S小，其关系是，用a、b、c可表示为；(3)拼图三：用8张直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面积按大小顺序分别记为S大、S中、S小，其关系是，用a、b、c可表示为.（思考题）如图，在△ABC中AB2=AC2=3，D是BC上一点，且AD=1，则BD⋅DC=.【勾股定理的应用】例1（基础题）利用勾股定理求三角形的边