第六章 多元函数微分学

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1、第六章多元函数微分学一、考试基本要求1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2．了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4．理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程.8．了解二元函数的二阶泰勒公式.9．理解多元函数极值和条件极值的概念，

2、掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.§6.1多元函数的概念、极限与连续性(甲)内容要点一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D，按照某一对应规则f，变量z都有一个值与之对应，则称z是变量x，y的二元函数，记以z=f（x，y），D称为定义域。二元函数z=f（x，y）的图形为空间一块曲面，它在xy平面上的投影域就是定义域D。例如二元函数的图形为以

3、原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D就是xy平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。2．三元函数与n元函数空间一个点集，称为三元函数21它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。二、二元函数的极限设的邻域内有定义，如果对任意只要则记以称当的极限存在，极限值为A。否则，称为极限不存在。值得注意：是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和

4、技巧。三、二元函数的连续性1．二元函数连续的概念若若内每一点皆连续，则称在D内连续。2．闭区域上连续函数的性质定理1（有界性定理）设在闭区域D上连续，则在D上一定有界定理2（最大值最小值定理）设在闭区域D上连续，则在D上一定有最大值和最小值定理3（介值定理）设在闭区域D上连续，M为最大值，m为最小值，若则存在（乙）典型例题一、求二元函数的定义域例1求函数的定义域21解：要求又要求综合上述要求得定义域或例2求函数解：要求即函数定义域D在圆的内部（包括边界）和抛物线的左侧（不包括抛物线上的点）二、有关二元复合函数例1设解：设解出代入所给函数化

5、简故例2设解：例3设解：由条件可知21三、有关二元函数的极限例1讨论解：原式=而又例2讨论解：沿原式沿例3讨论解：而用夹逼定理可知原式=0§6.2偏导数与全微分21（甲）内容要点一、偏导数与全微分的概念1．偏导数二元：设注意：在分界点处的偏导数，用偏导数定义求练习：设，求三元：设2．二元函数的二阶偏导数设，，定理：求偏导数与次序无关的定理例：已知为某一函数的全微分，则和的值分别是3．全微分设增量若当则称可微，而全微分定义：21定理：可微情况下，三元函数全微分4．相互关系连续存在例：二元函数在处可微的充分条件是（）（A）在处连续；（B）在的

6、某邻域存在；（C），当时，是无穷小量；（D），当时，是无穷小量练习：设在原点处（A）偏导数不存在（B）不可微（C）偏导数存在且连续（D）可微5．方向导数与梯度（数学一）二、复合函数微分法——锁链公式三、隐函数微分法设则四、几何应用（数学一）1．空间曲面上一点处的切平面和法线2．空间曲线上一点处的切线和法平面设空间曲线的参数方程为21空间曲线的一般方程为设曲面的隐函数方程为，则过上一点的切平面和法线方程分别为（乙）典型例题例1求的偏导数解，例2设有连续的一阶偏导数，又函数分别由下列两式确定解由解出由解出所以例3设所确定的函数，其中f具有一2

7、1阶连续导数，F具有一阶连续偏导数求解分别在两方程两边对x求导得解出例4设解一：令,解二：在解出代入合并化简也得21例5设具有二阶连续偏导数，且满足uxfvy解：故：所以：例6已知均有连续编导数，求证证：根据隐函数求导公式则得例7设解：对2121§6.3多元函数的极值和最值（甲）内容要点一、求第一步第二步进一步二、求多元（）函数条件极值的拉格朗日乘子法求约束条件求出是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性，这种方法关键是解方程组的有关技巧。三、多元函数的最值问题（略）21（乙）典型例题一、普通极值例1求函数的极值解要求故知

8、由此解得三个驻点又在点（1，1）处极小值在点（-1，-1）处极小值在点（0，0）处这时取而取不是极值点例2确定的函数，求21的极值点和极值。解因为每一项对x求导，z看作x，y的函数，得（1）每