第6讲-偏导数与全微分

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1、《数学分析II》第6讲教案第6讲多元函数的偏导数与微分授课题目多元函数的偏导数与微分教学内容1.多元函数偏导数的定义；2.多元函数可微性与全微分；3.函数可微的必要条件与充分条件；4.可微性的几何意义.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握多元函数偏导数、可微性与全微分的概念，熟记可微的必要条件与充分条件，了解切平面存在定理及其证明．教学重点及难点教学重点：多元函数偏导数、可微性与全微分的定义；教学难点：多元函数可微的充分条件的证明.教学方法及教材处理提示(1) 本节的重点是多元函数偏导数、可微性与全微分的定义，

2、讲授时一方面要讲清它们与一元函数导数和微分的联系，另一方面要讲清它们与一元函数导数和微分的区别．(2)通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系，并通过一些例题讲授使学生加深理解．(2)从另一个角度引入曲面在点的切平面概念，强化学生数学建模能力.作业布置作业内容：教材:1（4，6，9），2，3，6，8（2），12.讲授内容一、偏导数定义　设函数若，且在的某一邻域内有定义，则当极限存在时，称这个极限为函数在点关于的偏导数，记作　或　类似有，若极限存在时，它是关于的一元函数在处的导

3、数，记作　或　　　注意1　这里符号专用于偏导数算符，与一元函数的导数符号相仿，但又有差别．　若函数在区域D上每一点都存在对（或对）的偏导数，则得到函数在区域D上对（或对的偏导函数（也简称偏导数），记作4《数学分析II》第6讲教案或，也可简单地写作，或　　在上一章中已指出，二元函数的几何图象通常是三维空间中的曲面．设为这曲面上一点，其中，过作平面，它与曲面的交线是平面上的一条曲线。于是，二元函数偏导数的几何意义（如图17－1）是：作为一元函数在的导数，就是曲线C在点处的切线对于轴的斜率，即与轴正向所成倾角的正切。同样，是平面与曲

4、面的交线　　在点处的切线关于轴的斜率．　　由偏导数的定义还知道，函数对哪一个自变量求偏导数，是先把其他自变量看作常数，从而变成一元函数的求导问题。因此第五章中有关求导的一些基本法则，对多元函数求偏导数仍然适用。例1　求函数在点关于和关于的偏导数．　解：先求在点关于的偏导数，为此，令，得到以为自变量的函数，求它在的导数，即再求在点关于的偏导数，先令，得到以为自变量的函数，求它在的导数，得　　例2　求函数的偏导数．解：　　例3　求三元函数的偏导数．　　解：　把和看作常数，得.把看作常数，得把看作常数，得　4《数学分析II》第6讲教

5、案例4设函数这个函数在原点处显然不连续，但是偏导数存在，且，.二、全微分定义设函数在点的某领域内有定义,对于中的点若函数在点处的全增量可表示为:其中是仅与点有关的常数,是较高阶的无穷小量,则称函数在点可微,并称式中关于的线性函数为函数在点的全微分,记作　　　　　　　　　　　　　　　　　　例5　考察函数在点处的可微性.解：函数的全增量为：由于从而函数在可微，且　定理17.1　若二元函数在其定义域内一点处可微，则在该点连续.三、可微分与偏导数的关系定理17.2（可微的必要条件）　若二元函数在其定义域内一点处可微，则在该点关于每个自

6、变量的偏导数都存在，且式中的若二元函数在点可微，则在点处的全增量可由（1）式表示.现在讨论其中A、B的值与函数的关系.为此，令，这时得到关于的偏增量，且有　　　　　　　　　　　或现让，由上式便得A的一个极限表示式容易看出，右边的极限正是关于的一元函数在处的导数．类似地，令可得到4《数学分析II》第6讲教案它是关于的一元函数在处的导数．　　因此，函数在点的全微分可惟一表示为又若记所以全微分又可写成为　　若函数在区域D上每一点都可微，则称函数在区域D上可微，且在D上全微分为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例6　考察函

7、数在原点的可微性．　　解：按偏导数定义同理可得。若函数在原点可微，则应是较高阶的无穷小量．为此，考察极限由上述极限存在，因而函数在原点不可微。这个例子说明，偏导数即使存在，函数也不一定可微．　　定理17.3（可微的充分条件）　若函数的偏导数在点的某邻域内存在，且与在点处连续，则函数在点可微．　　根据这个定理，例1中的函数在点可微，且例2中的函数在上可微，且特别注意：偏导数连续并不是函数可微的必要条件。四、可微性几何意义及应用若函数在可微，则曲面在点处的切平面方程为　　　　　　过切点与切平面垂直的直线称为曲面在点的法线．由切平面

8、方程知道，法线的方向数是.所以过切点P的法线方程是　例7　试求抛物面在点处的切平面方程与法线方程.4