【提高练习】《球》（数学北师大必修二）

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1、《球》提高练习本课时编写：崇文门中学高巍巍一、选择题1.设正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（）.A.B.C.D.2.一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（）A.B.C.D.3.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A.36πB.64πC.144πD.256π二、填空题4．如果两个球的体积之比，那么两个球的表面积之比为　　　　．5.若棱长为3的正方体的

2、顶点都在同一球面上,则该球的表面积为　　　．6.若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为________．7.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如右图所示），则球的半径是cm．三、简单题8.已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积.9.已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为．（1）求它的外接球的体积．（2）求它的内切球的表面积．10.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8

3、cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？解析和答案一、选择题1．【答案】D解：正方体的全面积为24cm2，∴正方体的棱长为2cm，又∵球内切于该正方体,故R=1,.2.【答案】A解：,则.3．【答案】C解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O—ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时，故R=6，则球O的表面积为，故选C．二、填空题4．【答案】4:95．【答案】解：正方形内接于球，

4、则，.6．【答案】3:1:2解：V柱＝πR2×2R＝2πR3，V锥＝πR2×2R＝R3，V球＝πR3.V柱:V锥:V球＝3:1:2.7．【答案】4解：设球的半径为rcm，则底面圆的半径为rcm，从而有，由此解得r=4三、简单题8.【答案】解：∵为边长等于2的等边三角形，为它的中心.∴,设球半径为，则,.∴.9.【答案】；解：如右图，作PE垂直底面ABCD于E，则E在AC上．（1）设外接球的半径为R，球心为O，连接OA、OC，则OA=OC=OP，∴O为△PAC的外心，即△PAC的外接圆半径就是球的半径．∵AB=

5、BC=a，∴．∵，∴△PAC为正三角形．∴，∴．（2）设内切球的半径为r，作PE⊥BC于F，连接EF．则有．，．又．∴，∴，．10.【答案】8cm解：要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V圆锥≥V半球，V半球＝，V圆锥＝．依题意：，解得h≥8．即当圆锥形杯子杯口直径为8cm，高大于或等于8cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．又因为S圆锥侧＝，当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小，所以高为8cm时，制造的杯子最省材料．