隐函数的求导公式(VI)

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1、1隐函数在实际问题中是常见的.平面曲线方程空间曲面方程空间曲线方程下面讨论如何由隐函数方程如求偏导数.2一个方程的情形方程组的情形小结思考题作业implicitfunction8.5隐函数的求导公式第8章多元函数微分法及其应用3一、一个方程的情形在一元函数微分学中,现在利用复合函数的链导法则给出隐函数的求导法.并指出:曾介绍过隐函数(1)的求导公式,隐函数存在的一个充分条件.1.由二元方程F(x,y)=0确定一元隐函数y=f(x),4隐函数存在定理1设二元函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内满足:并有(1)具有连续偏导数;它满足条件

2、y0=f(x0),则方程F(x,y)=0在点P(x0,y0)的某一邻域内恒隐函数的求导公式(2)(3)能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边关于x求导,由链导法则,得y=f(x),5或简写:于是得所以存在(x0,y0)的一个邻域,在这个邻域内6证记(1)的邻域内连续;所以方程在点(0,0)附近确定一个有连续导数、且的隐函数y=f(x),则(2)(3)例证明方程一个隐函数y=f(x),在(0,0)点附近确定隐函数存在定理17先变形方程方程两边对x求导例法一推导法解（即一元隐函数求导法）8解令则例隐函数的求导公式

3、法二公式法9则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数并有若三元函数F(x,y,z)满足:它满足条件在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续2.由三元方程F(x,y,z)=0确定二元隐函数隐函数存在定理2(1)(2)(3)z=f(x,y),z=f(x,y),偏导数;10(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边分别关于x和y求导,应用复合函数求导法得设z=f(x,y)是方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数,则所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域,在这个邻域内因为连续,于是得11

4、例解则令法一公式法x,y,z的三个自变量的函数.在求Fx,Fy,Fz时,将F(x,y,z)看作是12方程确定了一个二元函数z=f(x,y),方程两边对x求导：(y看作常数)方程两边对y求导:(x看作常数)法二推导法例解13将隐函数方程两边取全微分法三全微分法例14将注再一次对y求偏导数,得对复合函数求高阶偏导数时,需注意:导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法.15解法一用公式练习16法二用全微分得17例设有隐函数,其中F的偏导数连续,求解令用多元复合函数求导法法一由公式.18将隐函数方程两边取全微分,即故从而此法

5、步骤清楚法二利用全微分.求得19将方程两边求导(推导法).对x求偏导:uv即自己练习z是x,y的函数!法三20二、方程组的情形(隐函数组)下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的确定两个二元函数u=u(x,y),v=v(x,y),求故由方程组求导方法.两个方程,四个变量21则方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0在点(x0,y0)v0=v(x0,y0)的单值连续函数u=u(x,y),v=v(x,y),且有偏导数公式:的某一邻域内可唯一确定一组满足条件u0=u(x0,y0),隐函数存在定理3若函数F(x,y,u,v),G(x,y,u

6、,v)满足:在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内具有对各个(1)变量的连续偏导数;(2)(3)22(证明从略)仅推导公式.23将恒等式两边关于x求偏导,解这个以为未知量的线性方程组,由链导法则得:求24解得当系数行列式不为零时,即雅可比行列式Jacobi,C.G.j.(德)1804-185125同理,两边关于y求偏导,得求26特如果方程组它可能确定两个现假定它确定且两个函数则求的方法同前面求的方法相同.为都可微,别一元函数,两个方程,三个变量27例解分析直接代入公式；法一令282930方程组两边对x求导得运用公式推导的方法.注意例解克莱

7、姆法则31例设方程组确定函数解运用公式推导的方法.原方程组两边分别对x求偏导数:u与v都视为x,y的二元函数32解方程组得移项得：33原方程组两边分别对解方程组得自己练y求偏导数:34反函数组存在定理列式或设函数组x=x(u,v),y=y(u,v)在点(u,v)的某邻域内具有连续偏导数,邻域内)能确定连续且具有连续偏导数的反函数组则函数组相对应的点(x,y)的邻域内并有其Jacobi行在与点(u,v)(也称为在点(x,y,u,v)的35证令有已知所以由隐函数存在定理3知,方程组能确定函数和所以存在反函数组.36两边分别对x和对y求偏导数,得再在

8、方程所以有37例解法一对x求偏导:这是含有四个变量两个方程的方程组,它可以确定两个二元的隐函数.如果把作因变量,x,y作自变量,那么隐函数也就是函数组