隐函数的求导公式(III)

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1、§9.5隐函数的求导公式一、一个方程所确定的隐函数及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数1)方程在什么条件下才能确定隐函数.[例如]方程C<0时,能确定隐函数C>0时,不能确定隐函数2)方程能确定隐函数时,研究其连续性,可微性及求导方法问题.本节讨论:一、一个方程所确定的隐函数及其导数【定理1】设函数则方程一个连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定在点的某一邻域内满足②③满足条件导数两边对x求导存在的某邻域使得则[说明]若第③条改为，则相应地确定隐函数x=(y),且有【例1

2、】【解】令则①②③故在(0,1)的某邻域内方程存在连续可导的隐函数连续;【解】令则【分析】y=y(x)【方法】(1)公式法；(2)推导法(直接法：两边对x求导)【解Ⅱ】（推导法略）同理【总结】(1)公式法：求偏导数时各自变量地位等同(2)推导法（直接法）：首先确定函数与自变量：y=y(x).方程两边对自变量x求导，此时切记y=y(x).即对x求偏导，y要视为常数.反之亦然.最后解出即可.(3)求出一阶导数后，再求高阶导数时，y仍要看作x的函数y=y(x).例如【解】令则【定理2】若函数的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个连续函数z=f(x,y)

3、,定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确两边对x求偏导同样可得则[说明]若第③条改为，则相应确定隐函数x=x(y,z),且有【分析】z=z(x,y)【课本例2】设【解法1】利用隐函数求导——推导法(即直接法)再对x求导【解法2】利用——公式法设则两边对x求偏导x,y,z地位等同【解法3】全微分法(已知可微时).对方程两边求全微分:每个变量都有微分两边对x求偏导【总结】(1)公式法：求偏导数时各自变量地位等同.即对x求偏导，y、z要视为常数.反之亦然.(2)推导法（直接法）:首先确定函数与自变量：z=z(x,y).方程两边对自变量

4、x求偏导，此时切记z=z(x,y).最后解出即可.(或y)(或)(3)求出一阶偏导数后，再求高阶偏导数时，z仍要看作x、y的函数z=z(x,y).如上例(课本例2)二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由F、G的偏导数组成的行列式称为F、G的雅可比行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即【定理3】的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组③且其偏导数按以下方法求得（推导法）:①在点②的某一邻域内可唯一确定一组连续且有连续偏导数的函数满足:导数；即满足条件有隐函数组则两边对x求导，则y视为常数设方程组(2)推导法（要求熟练掌握、记

5、忆）(1)Th3公式（繁杂不要求记）同理方程组两边再分别对y求偏导,则x视为常数,得【注意】【解1】直接代入公式(略)【解2】运用公式推导的方法（直接法)，将所给方程的两边对求导移项得将所给方程的两边对y求导，用同样方法得解得【注意】关键正确找出谁是函数,谁是自变量.【规律】一般地(假设所讨论方程均存在隐函数)②有几个方程构成的方程组就确定几个隐函数；这些隐函数的自变量是其余的变量.①两个方程的方程组确定两个函数，这两个函数的自变量是其余的变量.方程的个数＝隐函数的个数自变量个数=变量总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定[练习]习题8-5P371——5，

6、8——10[作业]习题8-5P371、3、5、10(1)(2).三、小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法（分以下几种情况）【方法】(1)公式法：各个自变量地位等同.(2)推导法（直接法）：注意此时有因变量与自变量之分.关键要搞清哪个（些）变量是函数，哪个（些）变量是自变量.(3)可微时可利用全微分求解.