隐函数的求导公式(II)

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1、1第五节隐函数的求导法则在一元函数微分学中,我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程一.由一个方程确定的隐函数的微分法（直接法）来求它所确定的隐函数y=f(x)的导数的方法.F(x,y)=0方程两边对x求导，得所以,得解(直接法)例求由方程这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并利用多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式,给出用偏导数来求隐函数的导数的隐式求导法。（公式法）一.由一个方程确定的隐函数的微分法注意:(1)证明从略,求导公式推导如下:一.定理（隐函数存在定理I）（一元隐函数的求导公式）将函数代入

2、方程得Fxy上式两端对x求导，由复合函数求导链式法则，得Fxy一.由一个方程确定的隐函数的微分法一.由一个方程确定的隐函数的微分法例1设解1(公式法)由求导公式,得所以,则有解2(直接法)解3(微分法)等式两端求微分，得一.由一个方程确定的隐函数的微分法注1、用公式法时，F(x,y)中的变量x，y2、用直接法时，应视为彼此无关的变量，并利用复合函数的求导法则。计算出应记住y是x的函数一.由一个方程确定的隐函数的微分法解令则一.由一个方程确定的隐函数的微分法解.一.由一个方程确定的隐函数的微分法注意:(1)证明从略,求导公式推导如下:

3、二.定理（隐函数存在定理II）一.由一个方程确定的隐函数的微分法设方程确定具有连续偏导数的二元函数将z=f(x,y)代入方程F(x,y,z)=0，得恒等式将上式两端分别对x和y求偏导，得所以，（二元隐函数求导公式）Fxyzxy且一.由一个方程确定的隐函数的微分法例3设由方程确定求偏导数.解1（公式法）由求导公式得解2（直接法）所以方程两边对x求偏导得类似可得则有令一.由一个方程确定的隐函数的微分法解3（全微分法）方程两边求全微分，得即所以利用一阶全微分形式的不变性来求隐函数的导数时，甚至不用分清哪个是自变量，那个是因变量，因而十分方

4、便。一.由一个方程确定的隐函数的微分法解1（公式法）由求导公式得则有令一.由一个方程确定的隐函数的微分法Method3.也可先求偏导再代入全微分公式得所求.解2（全微分法）一.由一个方程确定的隐函数的微分法思路：解令则一.由一个方程确定的隐函数的微分法整理得一.由一个方程确定的隐函数的微分法整理得整理得一.由一个方程确定的隐函数的微分法例5设F(x–az,y–bz)=0(a,b为常数),F(u,v)可微,证明由方程所确定的z=f(x,y)满足方程令u=x–az，v=y–bz，所以证设F(x,y,z)=F(x–az,y–bz)，uvF

5、xyz从而有例5设F(x–az,y–bz)=0(a,b为常数),F(u,v)可微,证明由方程所确定的z=f(x,y)满足方程令u=x–az，v=y–bz，所以证二（全微分法）从而有练习：解（公式法）则有令由求导公式得一.由一个方程确定的隐函数的微分法解.一.由一个方程确定的隐函数的微分法二、隐函数的微分法一、一阶全微分形式不变性解1（公式法），解2（求导法），解3（全微分法）作业：P3281，3，5,7小结25下次课内容第六节多元函数的极值及其应用