隐函数的求导法则(VI)

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1、一、一个方程的情形§6.5隐函数的求导法则初等函数的导数(一).导数的基本公式(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(14)(15)(16)(13)(二).导数运算法则1.函数和、差、积、商的求导法则(1)(3)(2)（c为常数）(4)2.复合函数求导法则设的导数，则复合函数或或3.反函数的导数设的反函数为则4.隐函数的导数一、一个方程的情形Fyx求导方法隐函数存在定理1设函数F(xy)在点P(x0y0)的某一邻域内具有连续偏导数F(x0y0)0Fy(x0y0)0则方程F(xy)0在点(x0

2、y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x)它满足条件y0f(x0)并有例1验证方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.解设F(x,y)x2y21,Fx2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.隐函数存在定理1:则设函数F(xy)在点P(x0y0)的某一邻域内具有连续偏导数F(x0y0)0Fy(x0y0)0则方程F(xy)0在点(x0y0)的某一邻域内恒能唯一确定

3、一个连续且具有连续导数的函数yf(x)它满足条件y0f(x0).由隐函数存在定理,方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x).解设F(x,y)x2y21,Fx2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.则由隐函数存在定理,方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x).提示:由方程F(x,y)0确定的隐函数yf(x)的导数为例1验证方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一

4、个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.解设F(x,y)x2y21,Fx2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.则由隐函数存在定理,方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x).例1验证方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.隐函数存在定理2设函数F(xyz)在点P(x0y0z0)的某一邻域内

5、具有连续的偏导数且F(x0y0z0)0Fz(x0y0z0)0则方程F(xyz)0在点(x0y0z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(xy)它满足条件z0f(x0y0)并有设F(x,y,z)x2y2z24z,解则Fx2x,Fz2z4,由方程F(x,y,z)0确定的隐函数zf(x,y)的偏导数为课堂练习二.方程组情形存在定理略去,只讨论其微分法.例.求解：各方程两边对x求偏导:解方程组:作业：习题6-51、（1）、（3）2、（1）、（3）3、（1）