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1、第五节隐函数的求导法则教学目的：使学生掌握隐函数存在定理，掌握隐函数的求导法则教学重点：一个方程的隐函数的求导法则教学过程：一、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数,F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)¹0,则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件y0=f(x0),并有.求导公式证明:将y=f(x)代入F(x,y)=0,得恒等式F(x,f(x))º0,等式两边对x求导得,由于Fy连续,且Fy(x0,y0)¹0,所以存在(x0,y0)
2、的一个邻域,在这个邻域同Fy¹0,于是得.例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x=0的值.解设F(x,y)=x2+y2-1,则Fx=2x,Fy=2y,F(0,1)=0,Fy(0,1)=2¹0.因此由定理1可知,方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x).,; ,.隐函数存在定理还可以推广到多元函数.一个二元方程F(x,y)=0可以确定一个一元隐函数,一个三元方程F(x,y,z)=0可以确定一
3、个二元隐函数.隐函数存在定理2设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数,且F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)¹0,则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足条件z0=f(x0,y0),并有,.公式的证明:将z=f(x,y)代入F(x,y,z)=0,得F(x,y,f(x,y))º0,将上式两端分别对x和y求导,得,.因为Fz连续且Fz(x0,y0,z0)¹0,所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域,使Fz¹0,于是得,.例2.设x
4、2+y2+z2-4z=0,求.解设F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z,则Fx=2x,Fy=2z-4,,.二、方程组的情形在一定条件下,由个方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0可以确定一对二元函数u=u(x,y),v=v(x,y),例如方程xu-yv=0和yu+xv=1可以确定两个二元函数,.事实上,xu-yv=0ÞÞÞ,如何根据原方程组求u,v的偏导数？隐函数存在定理3设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数,又F(x0,y0,u0,v0)=0,G(x0,y0,u0,v
5、0)=0,且偏导数所组成的函数行列式:在点P(x0,y0,u0,v0)不等于零,则方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,y),v=v(x,y),它们满足条件u0=u(x0,y0),v0=v(x0,y0),并有,,,.隐函数的偏导数:设方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0确定一对具有连续偏导数的二元函数u=u(x,y),v=v(x,y),则偏导数,由方程组确定;偏导数,由方程组确定.例3设xu-yv=0,yu+xv=1,求,,和.解两个
6、方程两边分别对x求偏导,得关于和的方程组,当x2+y2¹0时,解之得,.两个方程两边分别对x求偏导,得关于和的方程组,当x2+y2¹0时,解之得,.另解将两个方程的两边微分得,即.解之得,.于是,,,.例4设函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点(u,v)的某一领域内连续且有连续偏导数,又.(1)证明方程组在点(x,y,u,v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u=u(x,y),v=v(x,y).(2)求反函数u=u(x,y),v=v(x,y)对x,y的偏导数.解(1)将方程组改写成下面的形式,则按假设由隐函数存在定理3,即得所要证的结论.(2
7、)将方程组(7)所确定的反函数u=u(x,y),v=v(x,y)代入(7),即得,将上述恒等式两边分别对x求偏导数,得.由于J¹0,故可解得,.同理,可得,.
