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1、(十)隐函数求导法则由方程F(x,y)二0所确定的y是兀的函数称为隐函数。从方程F(x,j)=0中有时可解出y是兀的显函数，如从方程3x+5y+l=0可解出显函数y=--X--；有冲，从方程F(x,y)=0中可以解出不止一个显函数,如从方程X2+),2-R2=o(/?>o)中可以解出y=±^R2-x2。它包含两个显函数，其中y=^R2-x2代表上半圆周，y=-ylR2-x2代表下半圆周。但也有时隐函数并不能表示为显函数的形式，如方程y-x-Esiny=Q(0<£<1)就不能解出来y二/(%)的形式。现在讨论当y是由方程F(x,=0所确定的x的函数，并且y对兀可
2、导(即y'(x)存在)，那么在不解出y的情况下，如何求导数『呢？其办法是在方程F(x,对=0中，把y看成兀的函数y二y(x),于是方程可看成关于兀的恒等式:F(x,)(x))三0.在等式两端同时对兀求导(左端要用到复合函数的求导法则)，然后解出y即可。例2.14求方程%2+r=w(r>o)所确定的隐函数的导数y.解当我们对方程x2+y2=R2的两端同时对X求导时，则应有(y=y(x)是中间变量)2兀+2y・)/=0.解出/=--(yHO).y思考题证明：圆x2+/=/?2(/?>0)在其上一点MoGo，%)处的切线方程为xQx+yQy=R2.问：法线方程是什么
3、？例2.15求曲线xy+y=1在点(1,1)处的切线方程。解将曲线方程两边对兀求导，得(小儿+(lny儿=0,即y+x『+_・y=0.y于是•过点(hi)处的切线斜率K~y（1,1）-_yr（i・i）兀y+l2故所求切线方程为J-1=-I（x-1）,即x+2y-3=0.例2.16已知xy-sin（7T>'2）=0,求），（o._i）•解方程两边对x求导，得（兀W厂［sin（龙y2）］.=0,即y+xy’-cos（龙_/）・2龙yy'=0./^_y/_］1_〉兀一2兀ycos（羽，）‘，272^--cos7t2龙例2.17证明双曲线xy=a2±任意一点的切
4、线与两坐标轴形成的三角形的面积等于常数2/.证在双曲线xy=a2±任取一点（%0,y0）,过此点的切线斜率为k=丿仁=W）二-学故切线方程为AAoy-y0=-A（x-xo）.此切线在y轴与X轴上的截距分别为2儿，2心,兀（）故此三角形面积为*
5、2y（）
6、.
7、2对=2
8、x0•y°
9、=2a2.例2.18设sin（xy）-ln±U=l,求—.ycbcx=0/（、解两边对x求导，有［cos（xy）］（小）——•—=0兀+1y）[cos(xy)]-(j+xy*)-yx+1ycos(xy)+cos(xy)-1x+1r11i当x=0时,由sin(xy)-ln——=1可解出
10、—In—=1,即yylny=l,・・・y二e而当x=O,y=e时，由(*)可解出—1+^=0.e・・・y'x=0=e(l-e).(十一)取对数求导法(是要点)先看几个例题。例2.19设y=(g>0,qH1).此为指数函数。两边取对数得lny=lna',即y=xa,这是隐函数形式，按隐函数求导法：将此式两边对兀求导，得///(iny)x=(xlnci),即(iny)y•yx=a.—•X=In,・•・yf=yina=ax•Intz.即指数函数y二/的导数为
11、3)=八1胡......(1)特别当a=e时，则有(vlne=l)(^A)=ex(2)由复合函
12、数求导法，利用公式(1)容易求出的导数：y=(a~x)=[ci~x)(-.r)•(-x)=(ct~xln^)-(-l)=-a~x-./而(严丄+加+了二严'+加+c・.(做2+加+“二严也十电做+切若求由方程R二卩所确定的隐函数y的导数，只须两边对*求导，得+所以y'=—.e-xey(注:另一种解法•/ey=xy,从中容易解出x=—•此为y=y(兀)的反函数。y而d(yyd虬心1心—.由此易知dy右二［二y2二），二y即dy二ydxdxyey-eyyey-xyey-xdxey-x例2.20求幕函数y=T(兀＞0卫为任意实数)的导数。解当a=neN,已有现在X
13、/a^R在y=*两边取对数，则有lny=lnx即lny=alnx.两边对二求导数(做中间变壘)，有(iny)x={aInx),—•/=6Z(lnx)=a—.・y-a—-a'—-a'xa~x.yxxx/即(x6Z)-axcl~x(awR).例2.19,例2.20说明：对指数函数，幕函数求导数，幕指函数求导数，都可以利用“取对数求导法”。但注意，要尽量利用已有公式，如求(Vl+x2),不必再去令y=Jl+x2,然后两边取对数。而可直接求f(7i77)=pi+x2)J=*(1+戢；.(1+_411X=.■2X=.271+X271+X2例2.21求幕指函数y=P的
14、导数)/.解法一利用两边取对数方法:
