隐函数求导法则(IV)

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1、1.单个方程确定的隐函数的求导法则定理1设函数F(x,y)在点的某一邻域内具有连续偏导数，且则方程F(x,y)=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x)，§10.4隐函数求导法则它满足条件，并有将y=f(x)代入方程F(x,y)=0得恒等式:F[x,f(x)]=0该定理的证明略，我们仅推导隐函数求导公式：其左端是x的复合函数，两端同时对x求全导数可得所以【补充】如果F(x,y)的二阶偏导数都连续，则也存在，并且有其中且因为F(x,y)的二阶偏导数都连续，所以整理可得结果解令则练习求由方程y−xey+x=0所确定的隐函数y=f(x)的导数.它满

2、足条件，同时还有定理2设函数F(x,y,z)在点的某一邻域内具有连续偏导数，且则方程F(x,y,z)=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数z=f(x,y)，该定理的证明略，我们仅推导隐函数求导公式：设由方程：F(x,y,z)=0确定一个二元隐函数z=f(x,y).将z=f(x,y)代入方程F(x,y,z)=0得恒等式：F[x,y,f(x,y)]=0其左端是x、y的复合函数，应用复合函数求法，将上式两端分别对x和y求导，得：解:令则思路：解令则整理得整理得整理得解令而有微分知识可知则即二、多个方程的情形例如方程xuyv0和yuxv1可以确定两个

3、二元函数事实上，如何根据元方程组求u,v的偏导数呢？定理3设函数F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)满足:(2)在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，则方程组的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,y)，v=v(x,y)，它们满足条件将恒等式两边分别对x求导，应用复全函数求导法则得假设可知在点的一个邻域内，系数行列式从而可解出，得同理，可得例4解：将所给方程的两边对x求导并移项，得〖另解〗将两个方程的两边微分得即解之得于是例5反函数组存在定理〖解〗（1）将方程组改写成下面的形式则按假设由隐函数存在定理3，即得到所要证的结论（2）将方程

4、组所确定的反函数代入原方程，即得：将上述恒等式两边分别对x求偏导数，得：由于J≠0，故可以解得：同理，可得：〖注〗从上面的解题过程我们发现，在学习本节内容时，不要求死记公式，一定要掌握本质内容，这样解题更加得心应手。例利用变量代换将方程化为关于变量的方程，其中，解令同理可得将上述偏导数带入原方程，得到