阶线性微分方程(V)

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1、第四节一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、一阶线性方程的解法三、一阶线性方程的解法小结华南理工大学数学科学学院杨立洪博士一、一阶线性微分方程（1）形如的微分方程叫做一阶线性微分方程。特征：在方程中各项中，关于未知函数和未知函数的导数的幂次均是一次的。一阶线性微分方程的标准式：（2）其中，称作自由项。当（2）称作一阶齐次线性方程。当（2）称作一阶非齐次线性方程。是一阶非齐次线性方程不是线性方程。例如：是一阶齐次线性方程（1）（3）（2）二、一阶线性方程的解法1．一阶齐次线性方程的求解：（3）讨论：这也是一个可分离变量的方程。分离变量：两

2、边积分：∴一阶齐次线性方程（3）的通解为：（4）2．一阶非齐次线性方程的求解：（5）原方程可化为两边积分得:记讨论：记为其中，这就是一阶非齐次线性方程得通解形式，与相对应的齐次线性方程的通解相比：则即把对应的齐次线性方程通解中的常数变为待定函数的方法。设是一阶非齐次线性方程的通解，将y和代入原方程，常数变化法：则得积分得：∴一阶非齐次线性方程的通解为：三、一阶线性方程的解法小结1．一阶齐次线性方程的求解方法一：直接用分式方法二：采用分离变量法2．一阶非齐次线性方程的求解方法一：直接用公式注：常用到换底公式方法三：解的结构法再求的解则的通解

3、为方法二：采用常数变易法先求：再设：代入方程，求出C(x)即可。先求的通解(含C)；Y先介绍一阶线性方程求解之例。例1、求方程的通解。解一：（公式法）这是标准的一阶线性四、例题（Ⅰ）微分方程形式所以，原方程的通解为：解二（常数变易法）先求的通解：再设的通解是则代入得：所以，通解为：所以进而，我们有例2．求的通解。分析：注意到x和都是一次幂。解：原方程化为视这是关于函数的一阶线性微分方程:故其通解为：例3如图所示，平行于y轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长度值等于阴影部分图形的面积值，求曲线：解：由题设有两边对求导数，得即这是一阶线性方程

4、，其通解为：将代入，得c＝－6故所求曲线为：五、贝努利方程及其求解伯努利（Bernoulli）方程的标准形式当n＝0，1时，方程为线性微分方程；当n≠0，1时，方程为非线性微分方程。令，则代入得这是一阶线性微分方程，求出通解后，再将代回即可。解法：当n≠0，1时，需经过变量代换化为一阶线性微分方程求解；为此，两端除以得六、例题（Ⅱ）下面介绍贝努利方程的求解之例。例4．求方程的通解。解：这是贝努利方程，n＝2；令，则方程变形为代入并整理，得故该一阶线性方程的通解为：原方程的通解为:例５求的通解解：原方程化为令，则代入并整理，得为所求通解。所

5、以，七．例题（Ⅲ）利用变量代换(因变量的变量代换或自变量的变量代换),把一个微分方程化为可分离变量方程、或齐次方程、或一阶线性方程、或其他已知求解方法的方程，这是解微分方程常用的方法。同时，我们指出:求解一个微分方程的方法并不是唯一的，我们要从中进行比较，尽量使用自己熟悉的、简单的方法去求解。下面我们再举几个有关变量代换的例题。例6解方程解一、令，则,代入原方程，得，或分离变量，并两边积分，得为所求通解。所以，解二：原方程化为视，这是线性方程（解略）。例7解方程解：令则，代入得，即由分离变量法，得∴所求通解为∴八、小结本节内容有：1、一阶

6、线性方程的求解：（1）公式法：通解（2）常数变易法。2、贝努利方程的求解法：作变换：化为一阶线性方程去求解。3、一些常见的变量代换：根据方程的特点，灵活地作变量代换去求解一阶线性微分方程。九、重点一阶非齐次线性方程的求解。十、难点贝努利方程求解。十一、主要题型1、一阶齐次线性方程求解；2、一阶非齐次线性方程求解；3、贝努利方程求解；4、常见简单的变量代换。1、熟记一阶线性方程的通解公式，也要了解常数变量法；2、记住贝努利方程化为一阶线性方程的十二、学习方法建议变量代换：十三、课堂练习题1、解方程2、解方程十四、课堂练习题解1、解一（公式法

7、）这是一阶线性方程，其通解为：先解对应的齐次线性方程其通解为再设的通解是则代入得∴原方程通解为：解二（常数变易法）所以2、解此为贝努利方程，令则代入得原方程化为∴原方程通解为十五、自测题1、解方程3、解方程4、解方程5、解方程求特解2、解方程1、解将方程标准化十六、自测题解2、解：将方程标准化将代入以上通解，得故所求特解为3、解：视原方程化为4、解原方程化为这是贝努利方程，进一步化为：令，则代入得变量还原后，得原方程通解为变量还原后，得原方程通解为：5、解令，则代入得