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《阶常系数线性微分方程(V)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二阶常系数线性微分方程1n阶方程二阶常系数非齐次线性方程线性微分方程常系数二阶常系数齐次线性二阶常系数齐次线性微分方程定义形如2-----特征方程法将其代入方程,故有特征根二阶设有解得特征方程二阶常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性方程(characteristicequation)(characteristicroot)二阶常系数齐次线性方程解法其中r为待定常数.3※两个特解的通解的不同形式.有两个不相等的实根特征根r的不同情况决定了方程特征方程常数线性无关的得齐次方程的通解为设有解其中r为待定常数.4※有两个相等的实根一特解为化简得设取则知得齐次方程的通解为设有解其中r为待定常数.5※有
2、一对共轭复根为了得到实数形式的解,重新组合的两个线性无关的解.得齐次方程的通解为欧拉(Euler)公式:设有解其中r为待定常数.叠加原理6称为解特征方程故所求通解为例由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法二阶常系数齐次线性微分方程特征方程法.特征根7解特征方程故所求通解为例二阶常系数齐次线性微分方程特征根8例解初值问题解特征方程特征根所以方程的通解为二阶常系数齐次线性微分方程(二重根)特解9特征方程特征方程的根通解中的对应项二阶常系数齐次线性微分方程n阶常系数齐次线性方程解法若是k重根r若是k重共轭复根包含k个线性无关的解包含2k个线性无关的解10注意一个根都对应着通解中的一项,
3、二阶常系数齐次线性微分方程n次代数方程有n个根,而特征方程的每且每一项各乘以一个任意常数.11二阶常系数齐次线性微分方程例求方程解的通解.特征方程故所求通解为特征根即和12特征根故所求通解解特征方程例对应的特解二阶常系数齐次线性微分方程13(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解(1)写出相应的特征方程(2)求出特征根二阶常系数齐次线性微分方程小结二阶常系数齐次线性方程特征根的情况通解的表达式实根实根复根求通解的步骤:14思考题求微分方程的通解.二阶常系数齐次线性微分方程15思考题解答令则特征根求微分方程的通解.特征方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程通解或:此方程属于设1
4、6方程Y是对应齐次方程通解结构难点方法二阶常系数非齐次线性二阶常系数非齐次线性微分方程如何求非齐次方程特解y*?待定系数法.的通解,y*是非齐次方程的一个特解.二阶常系数非齐次线性方程17设非齐方程特解为求导代入原方程二阶常系数非齐次线性微分方程18综上讨论注上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数).不是特征根是特征单根是特征重根二阶常系数非齐次线性微分方程19解对应齐次方程通解特征方程特征根例(1)求对应齐次方程的通解(2)求非齐次方程的特解此题其中?二阶常系数非齐次线性微分方程20代入方程,得原方程通解为对应齐次方程通解二阶常系数非齐次线性微分方程21解对应齐次方程通
5、解特征方程特征根(1)求对应齐次方程的通解此题例1988年考研数学一,8分二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数非齐次线性微分方程22(2)求非齐次方程的特解解得所以(3)求原方程的特解即特征根原方程通解为(求函数y的解析表达式)且二阶常系数非齐次线性微分方程23由题意,得即联立将之代入通解得所以,函数y的解析表达式为二阶常系数非齐次线性微分方程24练习是二阶常系数微分方程满足初始条件的特解,函数的极限(A)不存在.(B)等于1.(C)等于2.(D)等于3.2002年考研数学二,3分解二阶常系数非齐次线性微分方程251989年考研数学一,3分提示根椐线性微分方程的性质,可先求方程和的特解,两个解
6、的和就是原方程的特解.特解.二阶常系数非齐次线性微分方程262000级北方交大考题,选择(3分)微分方程的特解的形式为解特征方程特征根对应的齐次微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程练习272002年研究生考题,计算(7分)(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数解(1)因为二阶常系数非齐次线性微分方程28(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数解(2)相应的齐次微分方程为特征方程特征根对应齐次方程通解为二阶常系数非齐次线性微分方程29特征根非齐次方程的特解为代入方程,得方程通解为二阶常系数非齐次线性微分方程30于是幂级数二阶常系数非齐次线性微分方程31练习解对
7、应齐次方程通解特征方程特征根(1)求对应齐次方程的通解此题其中(2)求非齐次方程的特解1992年考研数学一,6分二阶常系数非齐次线性微分方程32代入方程,原方程通解为对应齐次方程通解得二阶常系数非齐次线性微分方程33定理4的特解,那么就是原方程的特解.34欧拉公式35欧拉公式注上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.36解特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解37解特
